Summe zweier ungerader Funktionen

Symmetrie II

Quotient aus gerader und
ungerader Funktion

Satz

Wir wollen nun untersuchen, ob eine Funktion gerade, ungerade oder unsymmetrisch ist,
wenn sie aus dem Quotienten einer geraden und einer ungeraden Funktionen besteht.

Beispielsweise besteht die folgende Funktion f(x) aus dem Quotienten einer geraden und einer ungeraden Funktion, denn g(x)=cos(x) ist eine gerade und u(x)=x ist eine ungerade Funktion:

Der Graph der Funktion f(x) läßt vermuten, dass der Quotient eine ungerade Funktion ist:

Wir werden die Richtigkeit dieser Vermutung beweisen, d.h. es gilt:

Das Quotient aus gerader und ungerader Funktion
(oder umgekehrt) ergibt eine ungerade Funktion,
d.h. eine Funktion, die punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Beweis

Gegeben sei also eine Funktion f(x), die Quotient aus einer geraden Funktion g(x)
und einer ungeraden Funktion u(x) ist:



Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen.
Dazu ersetzen wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:

g(x) ist laut Voraussetzung eine gerade Funktion, und somit gilt: g(–x)=g(x).
u(x) ist laut Voraussetzung eine ungerade Funktion, und somit gilt: u(–x)= –u(x).
Wir erhalten somit die Gleichung:

Das negative Vorzeichen ziehen wir vor dem Bruch:

Der Bruch entspricht nun genau der gegebenen Funktion f(x):

Dies ist aber die Formel für Punktsymmetrie zum Ursprung,
und damit ist bewiesen, dass die Funktion f(x) eine ungerade Funktion ist.