Differenz zweier
gerader Funktionen
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 | Satz |
| Die
Differenz zweier gerader Funktionen ergibt
eine gerade Funktion, d.h. eine Funktion, die achsensymmetrisch zur Funktionswertachse (y-Achse) ist. |
Beispielsweise besteht die folgende
Differenz f(x) aus zwei geraden Teilfunktionen,
denn sowohl g1(x)=cos(x) als auch g2(x)=x2 sind gerade Funktionen:
f(x) = cos(x) – x2
Laut dem Satz ist somit auch f(x) gerade.
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| Beweis |
| Gegeben sei also eine Funktion f(x), die aus
der Differenz zweier gerader Teilfunktionen
besteht, die wir g1(x) und g2(x) nennen:
f(x) = g1(x) – g2(x)
Wie immer besteht die Beweisidee darin, f(–x) zu berechnen. Dazu ersetzen
wir auf beiden Seiten der Gleichung alle x durch –x:
f(–x) = g1(–x)
– g2(–x)
g1(x) und g2(x) sind laut Voraussetzung gerade Funktionen.
Daher gilt: g1(–x)= g1(x) und g2(–x)= g2(x). Wir erhalten:
f(–x) = g1(x)
– g2(x)
Wir vergleichen die
rechte Seite dieser Gleichung mit der gegebenen Gleichung
und erkennen, dass sie f(x) entspricht:
f(–x) = f(x)
Dies ist aber die Formel für Achsensymmetrie zur y-Achse,
d.h. die Funktion f(x) ist gerade Funktion.
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