Differenz aus gerader (oder ungerader) Funktion und
einer unsymmetrischen Funktion
Satz
Bildet man die
Differenz aus einer geraden (oder ungeraden) Funktion und einer unsymmetrischen Funktion, dann kann sowohl eine unsymmerische als auch eine symmetrische (z.B. gerade) Funktion entstehen
Anmerkung: In der Regel wird eine unsymmetrische Funktion entstehen
Beweis: Den Satz kann man beweisen, indem man zwei Beispiele angibt, wobei in einem Beispiel eine symmetrische Funktion entsteht, im anderen eine unsymmetrische. Dies werden wir im folgenden tun:
Beispiel: Symmetrische Funktion entsteht
Als Beispiel betrachten wir die Funktion f(x)= 2·sin(|x|+x)
– sin(2x)
Die Funktion
ist die Differenz aus einemunsymmetrischen Anteil:
2·sin(|x|+x):
... und einem symmetrischen (hier: ungeraden)
Anteil sin(2x):
Subtrahiert man beide Anteile, so erhält man eine gerade Funktion:
Beispiel: Unsymmetrische Funktion entsteht
Die Funktion f(x) =
sin(x) – ex ist unser Beispiel.
Sie besteht aus der
geraden Funktion g(x)=sin(x):
... und aus der unsymmetrischen Funktion
n(x)=ex:
Bildet man die Differenz, so erhält man eine unsymmetrische Funktion:
