Symmetrie
zur 1.Winkel-
halbierenden:
Beweis
bei
nichtgeschlossen
Ausdrücken
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 | Beispiel: |
| Die folgende Funktion ist eine Abwandlung der normalen Potenzfunktion f(x)=x².
Für positive x hat die runde Klammer stets den Wert 2, und somit liegt
die normale Potenzfunktion x² vor. Der Faktor –x/|x| bewirkt, dass für
positive x der Graph nach unten geklappt wird:
Für negative x wird die Klammer zu 2–1= 0.5
Es liegt für negative x somit die Wurzelfunktion vor.
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| Angabe in nichtgeschlossener Form | | Bei der oben genannten Funktion ist es nicht möglich, die Symmetrie
durch Umstellen der Formel zu beweisen. Dazu muß die Funktionsgleichung
erst in nichtgeschlossener Form angegeben werden. D.h. man muß zwei
Funktionsgleichungen angeben; die eine für positive x und die andere für
negative x. Diese lauten in unserem Fall:
| | Beiweis der Symmetrie zur 1.Winkelhalbierenden: | |
Gegeben ist also die Funktion, bzw. die beiden Teilfunktionen:
Wir vertauschen wie üblich x mit y. Achtung: Auch in den
Ausdrücken x>0 und x<0 muß x durch y ersetzt werden:
Wir stellen die Funktionsgleichungen nach y um. Im Detail:
Erste Gleichung mit –1 multiplizieren und Wurzel ziehen.
Zweite Gleichung mit 2 potenzieren und dann mit –1 multiplizieren:
Wir vertauschen die obere mit der unteren Gleichung, sowie
die beiden Seiten der Gleichung, :
Am Bild des Graphen sehen wir, dass y<0 genau dann gilt,
wenn x>0. Wir können also y<0 durch x>0 ersetzen.
Ebenso gilt y>0 genau dann, wenn x<0 ist, und somit
dürfen wir y>0 durch x<0 ersetzen. Wir erhalten die
gegebenen Gleichungen, und somit ist die Symmetrie bewiesen:
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by Josef Raddy |
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