 Beweisidee
Der Cosinussatz lautete c²=a²+b²-2·a·b·cos
 Wir zeichnen die Höhe h der Seite a ein.
 Dadurch können wir c durch h und a1 ausdrücken.
 Wir versuchen h und a1 durch die gegebenen Seiten a und b
sowie den gegebenen Winkel zu ersetzen.
 Wir setzen die Ergebnisse von Punkt in Punkt ein.
Details zum Beweis
zu Im unteren rechtwinkligen Dreieck gilt der Satz des
Pythagoras: c² = h² + a1²
zu Nun müssen wir in c² = h² + a1² die Seiten
h und a1 durch die Seiten a und b und den
Winkel ersetzen. Zuerst ersetzen wir h:
h = sin·b
Als zweites ersetzen wir a1:
a1 = a - a2
a1 = a - (cos·b) weil: cos= a2:b)
zu Schritt 4 besteht nur aus technischen Umformungen:
Wir setzen die Ergebnisse aus 3 in die Formel aus
Punkt 2 ein und multiplizieren die Klammern aus:
c² = (sin·b)² + (a - cos·b)²
c² = sin²·b² + a² -2·a·cos·b + cos²·b²
Aus dem 1. und 4. Summanden können wir b² ausklammern:
c² = b²(sin²+cos²) + a² -2·a·cos·b
Die Klammer fällt weg (trigonometrischer Pythagoras).
Diese letzte Umformung ergab den Cosinussatz:
c² = a² + b² -2·a·b·cos
|