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Ungleichungen mit
zwei Variablen
a-absatz.pcx (280 Byte) Vorwort
Bevor wir Ungleichungssysteme mit zwei Variablen behandeln, müssen wir
erklären, was eine Ungleichung mit zwei Variablen ist, und wie ihre
Lösungsmenge aussieht. Dazu dient diese Seite.
 
a-absatz.pcx (280 Byte) Die Art der Lösungsmenge
In den vorigen Kursen haben wir nur Ungleichungen mit einer Variablen
(meist x genannt) kennengelernt. Beispiel:

                x +2 < 3             (I)
 
Die Lösungsmenge war ein Intervall auf dem Zahlenstrahl, im Beispiel L={x|x<1}.
Alle Zahlen in diesem Intervall erfüllen die Lösung.

Bei einer Ungleichung mit zwei Variablen treten zwei Variablen auf,
die meist mit x und y bezeichnet werden:

                2y +6 < 2x         (II)

Bevor wir die Lösungsmenge ermitteln, wollen wir zunächst über die Art
der Lösungsmenge besprechen. Die Lösungsmenge besteht nicht mehr aus Zahlen,
sondern aus Zahlenpaaren. Setzen wir z.B. x=10 und y=1 in die Ungleichung II ein,
so erhalten wir eine wahre Aussage, und daher ist das Zahlenpaar (10 /1) eine Lösung
der Ungleichung:
  
                2·1 +6 < 2·10         
 
                8 < 20         
  
Die Lösungsmenge einer Ungleichung besteht also aus Zahlenpaare. Zahlenpaare
kann man aber nicht mehr auf der Zahlengeraden darstellen, sondern durch
Punkte in der Ebene (im rechtwinkligen Koordinantensystem).
  
a-absatz.pcx (280 Byte) Ermitteln der Lösung
Zur Erinnerung: Gegeben war eine Ungleichung mit zwei Variablen:

                2y +6 < 2x

Um nun die Lösungsmenge einer Ungleichung mit zwei Variablen zu ermitteln, stellt
man die Ungleichung zunächst nach y um. Im Beispiel müssen wir zu diesem Zweck
die Ungleichung durch 2 teilen:

                y +3 < x

und dann 3 subtrahieren:

                y < x–3

Wir interpretieren jetzt die rechte Seite der Ungleichung als Funktion f(x)=x–3,
und zeichnen die Funktion in ein Koordinantensystem mit den Achsen x und y:


Die Ungleichung  y < x–3  bedeutet nun: Wann ist y kleiner als der Funktionswert
der Funktion f(x) = x–3, d.h. welche Punkte liegen unterhalb des Graphen der
Funktion f(x)=x–3. Es sind alle Punkte in der gelb eingezeichneten Fläche: