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Vektorräume II ZURÜCK

Beispiel
Vektorraum:
Euklidische
Vektoren der Ebene

Euklidische Vektoren der Ebene
       Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, daß ein Vektorraum
       aus drei Dingen besteht:

Kommutative Gruppe G

Körper K

Verknüpfung S zwischen Gruppen- und Körperelementen,
               wobei die Verknüpfung S die Axiome S1-S5 erfüllen muß

       Um ein Beispiel für einen Vektorraum anzugeben, müssen wir also
       diese drei Dinge auswählen bzw. definieren:

Als Kommutative Gruppe G wählen wir diesmal die
           Gruppe der Euklidischen Vektoren, also die Menge der
           euklidischen Vektoren zusammen mit der Vektoraddition.

Als Körper K wählen wir wieder den Körper der reellen Zahlen.
Unser Beispiel ist also wieder ein reeller Vektorraum.

Nun müssen wir eine Verknüpfung S zwischen Gruppen- und
          Körperelementen definieren. Für unser Beispiel bedeutet dies,
          daß wir eine Verknüpfung von reellen Zahlen und Vektoren
          definieren müssen.

          Dies können wir uns aber sparen, denn in der Vektorrechnung
          (Kapitel Vektoralgebra II) haben wir eine solche Verknüpfung
          bereits definiert, und sie skalare Vervielfachung genannt:

                Eine reelle Zahl k wird mit einem (euklidischen) Vektor v
                multipliziert, indem man den Vektor v um den Faktor k
                streckt (k>1) oder staucht (k<1).

           Nun müssen wir nur noch überprüfen (auf der nächsten Seite),
           ob diese Verknüpfung S die Vektorraumaxiome S1 bis S5 erfüllt.