Version: Test ©Raddy 2000	Inhalt zu: Vektorräume III ZURÜCK
Info-Seite	Notwendige Vorkenntnisse: Gruppen I-IV, Vektorräume I-II Themen: Unterräume, Unterraum-Kriterium Infos: www.mathematik.net
Unterraum	Gegeben sei ein Vektorraum V, der aus dem Körper K, der Menge G und den Verknüpfungen R und S besteht. Ein Gebilde V' nennt sich Unterraum von V, wenn dem Gebilde V' der gleiche Körper K, die gleichen Verknüpfungen R und S, und eine Teilmenge G' der Menge G zugrundeliegen, und das Gebilde V' selbst ein Vektorraum ist.
Unterraum- Kriterium	Gegeben sei ein Vektorraum V, der aus dem Körper K, der Menge G und den Verknüpfungen R und S besteht. Ein Gebilde V' nennt sich Unterraum von V, wenn dem Gebilde V' der gleiche Körper K, die gleichen Verknüpfungen R und S, und eine Teilmenge G' der Menge G zugrundeliegen, und das Gebilde V' die Axiome R1, S1 und R4 erfüllt.
Beispiel: Diagonalmatrizen	Im Kapitel I haben wir gelernt, daß die 2×2-Matrizen zusammen mit der Matrixaddition und der Skalar-Matrix-Multiplikation einen Vektorraum bilden. Mit dem Unterraum-Kriterium zeigen wir, daß die Teilmenge 2×2-Diagonalmatrizen einen Unterraum des oben genannten Vektorraumes der 2×2-Matrizen bildet.
Gegenbeispiel: Einheitsmatrizen	Die Teilmenge der 2×2-Einheitsmatrizen kann jedoch nicht zu einem Unterraum ergänzt werden.
Beispiel: Euklidische Vektoren auf einer Geraden	Im Kapitel II haben wir gelernt, daß die Euklidischen Vektoren der Ebene zusammen mit der Addition und der Skalar-Vektor- Multiplikation einen Vektorraum bilden. Die Teilmenge Euklidische Vektoren einer Geraden (dieser Ebene) kann man zu einem Unterraum des oben genannten Vektroraumes ergänzen. Dies zeigen wir wieder mit Hilfe des Unterraumkriteriums:
Gegenbeispiel: Euklidische Vektoren mit gleicher Richtung	Die Teilmenge der Euklidischen Vektoren mit bestimmter (gleicher) Richtung kann jedoch nicht zu einem Unterraum ergänzt werden.