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Vektorräume III ZURÜCK |
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| Unterraum- kriterium |
 Einführungder Menge G und den Verknüpfungen R und S besteht. Ein Gebilde V' nennt sich Unterraum von V, wenn dem Gebilde V' der gleiche Körper K, die gleichen Verknüpfungen R und S, und eine Teilmenge G' der Menge G zugrundeliegen, und das Gebilde V' selbst wieder ein Vektorraum ist. Hier stellt sich die Frage: Wann ist denn das Gebilde V' selbst wieder ein Vektorraum. Die Antwort ist einfach: Das Gebilde V' muß alle Vektorraumaxiome erfüllen. Nun gibt es aber einen "Trick": Man muß nämlich nicht alle Vektorraumaxiome nachweisen, sondern nur einige: Zunächst zeigen wir, daß man die beiden Assoziativgesetze R2 und S2, die beiden Distributivgesetze S3 und S4 und das Kommutativgesetz R5 nicht nachweisen muß: Wenn diese Gesetze in der Menge G gültig sind, dann sind sie auch in der Teilmenge G' gültig. Dies kann man sich so verdeutlichen: Wenn ein Strafgesetz in Deutschland gültig ist, dann ist es auch in einer Teilmenge von Deutschland gültig (also z.B. in Bayern). Das Axiom S5 muß man auch nie nachweisen: Das Einselement ist ein Element des Körpers K des Vektorraumes V, und dieser Körper K liegt auch dem Gebilde V' zugrunde. Das Axiom R3 (Existenz eines neutralen Elementes) braucht man aus nicht zu prüfen, denn es folgt aus Axiom R4: Das neutrale Element ist die Summe zweier zueinander inverser Elemente: g' + (g')-1 = Neutrales Element Faßt man diese Überlegungen zusammen, dann folgt daraus das sogenannte Unterraumkriterium:
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