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Vektorräume III                                     ZURÜCK

Beispiel eines
Unterraumes:
Euklidische
Vektoren
a-absatz.pcx (280 Byte)Beispiel: Euklidische Vektoren
       Im Kapitel II haben wir gelernt, daß die Euklidischen Vektoren
       der Ebene
  zusammen mit der Addition und der Skalar-Vektor-
       Multiplikation einen Vektorraum bilden.

            Nun wählen wir eine Teilmenge der Euklidischen Vektoren
            der Ebene
, nämlich die Teilmenge der Euklidischen Vektoren
            die auf einer Geraden (dieser Ebene) liegen
.

        Diese Teilmenge kann man zu einem Unterraum des oben
        genannten Vektroraumes ergänzen. Dies zeigt man wieder
        mit Hilfe des Unterraumkriteriums:

            Wir wählen den gleichen Körper und die gleichen
            Verknüpfungen wie im Vektorraum der Euklidischen
            Vektoren der Ebene
.

            Wie gesagt wählen wir als Teilmenge die Euklidischen
            Vektoren einer Geraden dieser Ebene.


            Nun müssen nur noch die Axiome R1, S1 und R4 erfüllt sein:

a-absatz.pcx (280 Byte)
Die Axiome sind erfüllt

        Axiom R1 (Abgeschlossenheit der Addition):
        Die Addition zweier Euklidischer Vektoren einer Geraden
        ergibt einen Euklidischen Vektor derselben Geraden.
        Die Addition ist also abgeschlossen,  und damit ist das
        Axiom R1 erfüllt.

        Axiom S1 (Produkt aus Skalar und Vektor ergibt Vektor):
        Das Produkt aus reeller Zahl und einem Euklidischen Vektor
         einer Geraden
ergibt wieder einen Euklidischer Vektoren
         dieser Geraden.
Somit ist das Axiom S1 erfüllt.

        Axiom R 4 (Existenz inverser Elemente):
        Zu jedem Euklidischen Vektor einer Geraden gibt es
        einen Gegenvektor, der auch auf dieser Geraden liegt.
        Somit ist das Axiom R4 erfüllt.