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Vektorräume III ZURÜCK |
| Beispiel eines Unterraumes: Euklidische Vektoren |
 Beispiel: Euklidische Vektorender Ebene zusammen mit der Addition und der Skalar-Vektor- Multiplikation einen Vektorraum bilden. Nun wählen wir eine Teilmenge der Euklidischen Vektoren der Ebene, nämlich die Teilmenge der Euklidischen Vektoren die auf einer Geraden (dieser Ebene) liegen. Diese Teilmenge kann man zu einem Unterraum des oben genannten Vektroraumes ergänzen. Dies zeigt man wieder mit Hilfe des Unterraumkriteriums: Wir wählen den gleichen Körper und die gleichen Verknüpfungen wie im Vektorraum der Euklidischen Vektoren der Ebene. Wie gesagt wählen wir als Teilmenge die Euklidischen Vektoren einer Geraden dieser Ebene. Nun müssen nur noch die Axiome R1, S1 und R4 erfüllt sein: Die Axiome sind erfülltAxiom R1 (Abgeschlossenheit der Addition): Die Addition zweier Euklidischer Vektoren einer Geraden ergibt einen Euklidischen Vektor derselben Geraden. Die Addition ist also abgeschlossen, und damit ist das Axiom R1 erfüllt. Axiom S1 (Produkt aus Skalar und Vektor ergibt Vektor): Das Produkt aus reeller Zahl und einem Euklidischen Vektor einer Geraden ergibt wieder einen Euklidischer Vektoren dieser Geraden. Somit ist das Axiom S1 erfüllt. Axiom R 4 (Existenz inverser Elemente): Zu jedem Euklidischen Vektor einer Geraden gibt es einen Gegenvektor, der auch auf dieser Geraden liegt. Somit ist das Axiom R4 erfüllt. |