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Inhalt zu: Vektorräume V          ZURÜCK
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Austauschlemma Gegeben sei eine Vektorraum V, eine Basis B= {v1 ... vn} von V
und ein beliebiger Vektor wa-unglei.pcx (196 Byte)0 des Vektorraumes V. Dann gilt:

   Fügt man den Vektor w zur Basis B hinzu, und entfernt man
   im Gegenzug einen geeigneten Vektor aus der Basis B,
   so erhält man eine neue Basis des Vektorraumes V.

   Dabei gilt: Es gibt immer mindestens einen Vektor v aus B
   der geeignet ist, um gegen w ausgetauscht zu werden.
Wahl des
Austauschvektors		 Nun stellt sich die Frage, welche Vektoren v geeignet sind, um
gegen w ausgetauscht zu werden. Es sind dies die Vektoren,
die in der Linearkombination:

               w = k1·v1 +  k2·v2 +  ...  +  kn·vn
 
einen Koeffizienten ki haben, der von Null verschieden ist.
Beispiel Ein Beispiel aus dem R3
Steinitz'scher
Austauschsatz		 Gegeben seien:
1. Ein Vektorraum V
2. Eine Basis B dieses Vektorraumes: B = {b1 ... bn}
3. Eine linear unabhängige Menge A aus Vektoren
       dieses Vektorraumes: A = {a1 ... am}
Daraus folgt:
1. na-gr-gl.pcx (207 Byte)m
2. Fügt man zur Basis B = {b1 ... bn} die linear unabhängige
    Menge A = {a1 ... am} hinzu, und entfernt im Gegenzug
    m Vektoren aus der Basis b, so erhält man eine
    neue Basis B'  =  {a1 ... am, bm+1 ... bn}
Alternative
Forumlierung		 Jede linear unabhängige Menge A = {a1 ... am} kann durch
Hinzunahme geeigneter Vektoren aus einer Basis  B = {b1 ... bn}
zu einer Basis B' ergänzt werden:  B' = {a1 ... am , bm+1 ... bn}
Beispiel Ein Beispiel ...
Gegenbeispiel Ein Gegenbeispiel ...
Dimension Alles Basen eines bestimmten Vektorraumes haben gleich viele
Elemente. Man nennt die Anzahl der Basisvektoren eines
Vektorraumes die Dimension dieses Vektorraumes.