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Vektorräume V                                             ZURÜCK

Steinitz'scher Austauschsatz

Gegeben seien:    1. Ein Vektorraum V    2. Eine Basis B dieses Vektorraumes: B = {b1 ... bn}    3. Eine linear unabhängige Menge A aus Vektoren        dieses Vektorraumes: A = {a1 ... am} Daraus folgt:    1. nm    2. Fügt man zur Basis B = {b1 ... bn} die linear unabhängige        Menge A = {a1 ... am} hinzu, und entfernt im Gegenzug        m Vektoren aus der Basis b, so erhält man eine        neue Basis B':             B'  =  {b1 ... bn} {a1 ... am} - {m Vektoren aus B}               oder             B'  =  {n-m Vektoren aus B} {a1 ... am}

Anmerkungen zum Satz

       Der Steinitz'sche Austauschsatz sagt nur, daß es
           m geeignete Vektoren in B gibt, die man gegen {a₁ ... a_m}
           austauschen kann.  Der Steinitz'sche Austauschsatz
           sagt aber nicht, welche Vektoren geeignet sind.

       Der Ausdruck B' = {n-m Vektoren aus B} {a₁ ... a_m}
           wird in der Regel einfacher geschrieben. Dazu nummeriert
           man die übriggebliebenen n-m Vektoren der Basis B um,
           und gibt ihnen die Indizes  b_m+1 ... b_n :

                         B'  =  {a₁ ... a_m, b_m+1 ... b_n}