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Vektorräume VI ZURÜCK

Wohldefiniertheit
des Produktes
aus Skalar und
Nebenklasse

Die Problemstellung
       Schauen wir uns nochmals an, wie wir das Skalar-Vektor-Produkt,
       also das Produkt aus Skalar und Nebenklasse definiert haben:

                 k·(v+U) = (k·v) + U

       Was aber wäre, wenn wir statt v einen anderen Repräsentanten
       der Nebenklasse gewählt hätten, dann müßten wir rechnen:

                 k·(v'+U) = (k·v') + U

       Das Ergebnis muß aber in beiden Fällen gleich sein, denn sonst
       wäre das Skalar-Vektor-Produkt ja nicht eindeutig!
       Wir müssen also beweisen, daß gilt:

                 (k·v) + U = (k·v') + U

Der Beweis
       Der Beweis beginnt folgendermaßen: Wenn die beiden
       Nebenklassen gleich wären, dann müßte aufgrund des
       "Satz über die Gleichheit von Nebenklassen" die
       Differenz der beiden Repräsentanten (k·v) und (k·v')
      ein Element von U sein:

                 (k·v) - (k·v')

U

Diese Formel stellen wir etwas um:

k·(v-v')

U

         Da v und v' Repräsentanten derselben Nebenklasse sind, liegt
         aufgrund des "Satzes über die Gleichheit von Nebenklassen"
         ihre Differenz in U. Wir nennen diesen Vektor u:

                  k·u

U

         Das diese Formel richtig ist, können wir ganz einfach überlegen
         Weil u aus aus dem Unterraum U stammt, und in einem Unterraum
         das Skalar-Vektor-Produkt abgeschlossen ist, ist auch k·u ein
         Element von U, was zu beweisen war.