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Vektorräume VI ZURÜCK

Nachweis der
Abgeschlossen-
heit und einiger
Vektorraum-
axiome des
Faktorraumes

Nachweis der Abgeschlossenheit
       Wir haben bereits die Addition zweier Nebenklassen (R) und
       das Produkt eines Skalars mit einer Nebenklasse (S) definiert.
       Nun müssen wir beweisen, daß die Vektorraumaxiome erfüllt sind.

       Die Addition und die Skalar-Nebenklassen-Multiplikation sind
       abgeschlossen: Beispiel

          Zwei Nebenklassen die man addiert ergeben eine
          Nebenklasse: (v+U) + (w+U) = (v+w)+U = Nebenklasse

Axiom des Nullvektors
         In jedem Vektorraum muß es einen Nullvektor geben, für den
         v+0=v gilt. Im Fall des Faktorraumes, ist der Unterraum U
         der Nullvektor. Addieren wir den Nullvektor U zu einer
         Nebenklasse v+U, so muß das Ergebnis v+U sein:

               (v+U)+U = (v+U)+(0+U)

          Nun wenden wir die Definition der Nebenklassenaddition an:

               (v+U)+(0+U) = (v+0)+U = v+U

          Damit haben wir bewiesen, daß mit U als Nullvektor
          dieses Axiom erfüllt ist.

Axiom der inversen Elementes
         In jedem Vektorraum muß es zu jedem Element ein inverses
         Element, deren Summe den Nullvektor ergibt. Im Falle des
         Faktorraumes ist das zu v+U inverse Element das Element
         -(v+U). Überprüfen wir, ob die Summe aus v+U und dem
        dazu inversen Element -(v+U) den Nullvektor ergibt:

            (v+U) + ( -(v+U)) = (v+U) + ( -1(v+U))

        Auf den 2.Summanden wenden wir die Definition des
        Skalar-Vektor-Produktes an:

           (v+U) + ( -1(v+U)) = (v+U) + (-v+U)

        Nun wenden wir die Definition der Nebenklassenaddition an:

           (v+U) + (-v+U)) = (v-v) +U = 0+U = U

       Tatsächlich erhalten wir den Nullvektor, was unsere These
       bestätigt, daß -(v+U) das inverse Element zu v+U ist.

Dies restlichen Axiome
       Die restlichen Axiome folgen noch einfacher, wenn man bedenkt,
       daß die Vektoren v aus V sind, und zwischen Vektoren aus V
       ja die Vektorraumaxiome automatisch gültig sind.
       Zum Beispiel beweißt man das Kommutativgesetz so:

          (v₁+U) + (v₂+U) = (v₁+v₂)+U = (v₂+v₁)+U = (v₂+U) + (v₁+U)