Lineare
Abhängigkeit
bei 4 Vektoren |
 Lineare Abhängigkeit bei 4 Vektoren
| Vier Vektoren sind immer linear
abhängig |
Beweisidee
Wir müssen beweisen, daß man aus 4 Vektoren immer eine
nichttriviale Nullsumme bilden kann, denn dann sind die
vier Vektoren auch linear abhängig.
Man unterscheidet vier Fälle:
Beweis Fall 1
Unter den vier Vektoren befindet sich der Nullvektor:
Da der Nullvektor selbst schon linear abhänig ist
(man kann ja die nichttriviale Nullsumme a·0=0 bilden)
sind auch die vier Vektoren linear abhängig.
Beweis Fall 2
Unter den vier Vektoren befindet sich zwei kollineare
Vektoren:
Da zwei kollineare Vektoren linear abhängig sind, sind
auch die vier Vektoren linear abhängig.
Beweis Fall 3
Unter den vier Vektoren befinden sich drei komplaren
Vektoren:
Da drei zwei komplanare Vektoren linear abhängig sind,
sind auch die vier Vektoren linear abhängig.
Beweis Fall 4
Dieser Beweis ist etwas umfangreicher. Fall 4 ist
deshalb die ganze nächste Seite gewidmet.
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