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Nun überlegen wir uns, wie man
einen Wendepunkt
erkennen kann.
Wir suchen also eine Bedingung (Kriterium) dafür, dass ein Wendepunkt
vorliegt.
Speziell auf dieser Seite geht es darum, einen Wendepunkt
mit Wechsel von Rechts- in Linkskrümmung zu berechnen:
Dazu betrachten wir die Steigung der Funktion f(x), also die 1.Ableitung:
Die Steigung von f(x) sinkt vor dem Wendepunkt und steigt nach dem
Wendepunkt wieder an. Folglich hat die 1.Ableitung dort ein Minimum:
Bei einem Wendepunkt
(mit Rechts-Links-Wechsel) an der Stelle x0
hat die 1.Ableitung f '(x) dort ein relatives Minimum |
Das Bild der ersten Ableitung f '(x) sieht also
so aus:
Im vorigen Kapitel haben wir gelernt, dass man ein
relatives Minimum
einer Funktion
daran erkennt, dass die Ableitung dort gleich Null ist,
und die Ableitung einen Vorzeichenwechsel von Minus
nach Plus durchführt.
Folglich hat die 1.Ableitung ein Minimum,
wenn folgende Bedingung erfüllt ist:
Die Ableitung der 1.Ableitung, d.h. die
zweite Ableitung f ''(x), muß
an der
Stelle x0 gleich Null sein und dort das Vorzeichen von Minus nach Plus wechseln.
Damit ist ein hinreichendes Kriterium für den Wendepunkt gefunden:
Kriterium für einen
Wendepunkt (mit Rechts-Links-Wende) bei x0:
Die 2.Ableitung ist bei x0 gleich Null
und
Die 2.Ableitung wechselt bei x0 das Vorzeichen von Minus nach Plus |
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