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Dies ist die gegebene Wurzelgleichung:
Die gegebene Wurzelgleichung ist eine verschachtete Wurzelgleichung.
Die Variable x kommt aber nur in der inneren Wurzel vor.
Hinweis: Verschachtelte Wurzelgleichungen, bei denen die Variable
x
in der inneren und der äußeren Wurzel vorkommt, lernen wir später
kennen. |
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Wurzel isolieren:
In der gegebenen Gleichung muß zuerst die äußere Wurzel
isoliert werden.
Dazu addieren wir auf beiden Seiten die Zahl 2. |
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Beide Seiten quadrieren:
Jetzt quadrieren wir beide Seiten:
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Vereinfachen:
Auf der linken Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und
Quadrieren
(mit 2 potenzieren) gegenseitig auf, denn es gilt das folgende
Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:
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Innere Wurzel isolieren:
Jetzt ist nur noch die innere Wurzel übrig, die wir nun wieder isolieren
müssen.
Dazu subtrahieren wir auf beiden Seiten die Zahl 6: |
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Gleichung mit –1 multiplizieren:
Durch die Multiplikation beider Seiten mit –1 werden beide Seiten
positiv: |
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Beide Seiten quadrieren:
Durch die Multiplikation beider Seiten mit –1 werden beide Seiten
positiv: |
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Vereinfachen:
Auf der linken Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und Quadrieren
(mit 2 potenzieren) gegenseitig auf, denn es gilt das folgende
Wurzelgesetz,
das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben:
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Ergebnis:
Diese einfache lineare Gleichung lösen wir, indem wir auf beiden
Seiten 1 subtrahieren. Wir erhalten das Ergebnis: |
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Probe machen:
Nun müssen wir noch die Probe machen, indem wir das Ergebnis (3)
in die
ursprüngliche Wurzelgleichung einsetzen und die Terme vereinfachen.
Weil die Probe eine wahre Aussage ergibt (0=0), ist die Zahl 3
tatsächlich eine Lösung der gegebenen Wurzelgleichung: |
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Lösungsmenge:
Nun können wir die Lösungsmenge angeben: |
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