Zwei Wurzeln, wobei der eine Wurzelexponent nicht ein Vielfaches des anderen ist

Gegeben:
Im vorigen Fall haben wir bereits Wurzelgleichungen mit 2 Wurzeln betrachtet, bei denen der eine Wurzelexponent ein Vielfaches des anderen Wurzelexponent. Nun lassen wir diese Einschränkung fallen, und betrachten eine Wurzelgleichung mit den Exponenten 9 und 6:
Wurzeln als Potenzen schreiben:
Zuerst schreiben wir die Wurzeln als "Potenzen mit rationalen Exponenten".
Dazu benutzen wir folgende Formel aus dem Kurs Potenzrechnung:
 
Hauptnenner der Wurzeln finden:
Jetzt wollen wir die Potenzen auf den kleinesten gemeinsamen Nenner bringen. Der Hauptnenner von 1/9 und 1/6 ist 1/18.  Deshalb müssen wir den Exponenten auf der linken Seite mit 2 erweitern, und den Exponenten auf der rechten Seite mit 3:
Vereinfachen:
Vereinfache die Exponenten:
Potenziere mit dem gemeinsamen Nenner:
Nun hat bei beiden Potenzen der Exponent den gleichen Nenner 18, und wir können mit 18 potenzieren, wodurch ganzzahlige Exponenten entstehen
Vereinfachen:
Fasse die Exponenten auf der linken bzw. rechten Seite jeweils zusammen.
Benutze dazu das folgende Potenzgesetz aus dem Kurs "Potenzen":
Vereinfachen:
Kürze die Exponenten auf der linken bzw. rechten Seite:
Die Klammern auf der linken bzw. rechten Seite können wir
nun entweder ausmultiplizieren, oder die Binomischen Formeln anwenden:
Nun bringen wir alle Summanden auf die linke Seite:
Wir multiplizieren mit –1, damit die Gleichung übersichtlicher wird:
Kubische Gleichung > Lösung raten:
Wir erhalten eine Polynomgleichung 3.Grades (kubische Gleichung), jedoch ist die Lösungsformel für Polynomgleichungen 3.Grades Schülern meist nicht bekannt. Wir haben aber schon einen Satz aus der Algebra kennengelernt, der oft weiterhilft: Falls eine Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ganzzahlige Lösungen haben sollte, dann sind sie unter den Teilern des Absolutgliedes (hier: –28) zu finden.
Wir setzen also die Teiler des Absolutgliedes (1, –1, 2, –2, 4, –4, ...) in die kubische Gleichung ein. Bei x=2 haben wir Glück. Weil x=2 die kubische Gleichung erfüllt, ist x=2 auch eine Lösung der Wurzelgleichung.
 
Nun suchen wir weitere Lösungen. Ein weiterer (uns bekannter) Satz aus der Algebra sagt: Wenn x=2 eine Lösung der Gleichung ist, dann ist die linke Seite der Gleichung durch (x–2) teilbar. Wir führen also eine Polynomdivision mit (x–2) durch:
Den Faktor (x–2) bringen wir auf die andere Seite, und erhalten so die Faktorzerlegung der algebraischen Gleichung:
Wir ersetzen in der kubischen Gleichung den kubischen Term durch die Faktorzerlegung. Ein Produkt ist aber genau dann Null, wenn einer oder beide der Faktoren gleich Null sind. Wir müssen daher noch den ersten Faktor (linke Klammer) gleich Null setzen
Quadratische Gleichung lösen:
Wir erhalten eine quadratische Gleichung
Die Lösungsformel für quadratische Gleichungen lautete:
Einsetzen der Werte:
Weil die Diskriminante negativ ist (negativer Radikant) hat die quadratische Gleichung keine Lösung, und daher hat die Wurzelgleichung keine weiteren Lösungen.
Probe:
Nun muß noch die Probe für x1=2 gemacht werden, also für die Lösung die wir weiter oben gefunden haben. Es ergibt sich eine wahre Aussage (1=1). Daher ist x1=2 tatsächlich eine Lösung der Wurzelgleichung:
Lösungsmenge: