Zwei Wurzeln, ein Wurzelexponent ist das Vielfache des anderen Gegeben: Gegeben ist folgende Wurzelgleichung: Potenzieren: Wir haben nun zwei Möglichkeiten: Entweder wir erweitern die erste Wurzel, sodass ihr Wurzelexponent auch zu 6 wird, oder wir potenzieren direkt mit dem größeren der beiden Wurzelexponenten. Wir wählen die letztere Methode: Rechte Seite: Vereinfachen Auf der rechten Seite heben sich Radizieren (Wurzelziehen) und Potenzieren gegenseitig auf, denn es gilt das folgende Wurzelgesetz, das wir im Kurs Wurzelrechnung kennengelernt haben: Linke Seite: Vereinfachen: Auf der linken Seite können wir die Wurzel als Potenz mit rationalem Exponenten schreiben, denn es gilt folgendes Potenzgesetz: Linke Seite: Vereinfachen: Auf der linken Seite der Gleichung den Wurzelexponenten kürzen: Linke Seite: Vereinfachen: Die Klammer ausmultiplizieren: Gleichung vereinfachen: Nun stehen Polynome auf der linken und auf der rechten Seite der Gleichung. Wir bringen alle Summanden auf die linke Seite: Gleichung 3.Grades lösen: Wir erhalten eine algebraische Gleichung 3.Grades. Die Gleichung 3.Grades hat kein Absolutglied, und somit können wir x ausklammern. Ein Produkt ist gleich Null, wenn einer der Faktoren gleich Null ist. Wir können somit ablesen, daß x1=0 ein Ergebnis ist: Die anderen Ergebnisse erhalten wir, wenn wir die Klammer Nullsetzen. Es entsteht eine quadratische Gleichung: Quadratische Gleichung lösen: Die quadratische Gleichung lösen wir, indem wir die allgemeine Lösungsformel benutzen, die wir im Kurs "Quadratische Gleichungen" kennengelernt haben. Probe für x1=0 Die Probe für x1=0 ergibt eine wahre Aussage (1=1). x1=0 ist also eine Lösung der Wurzelgleichung: Probe für x2=1: Wir setzen x2=1 in die gegebene Gleichung ein und vereinfachen. Dann müssen wir die erste Wurzel mit 3 erweitern, um die beiden Wurzeln vergleichen zu können. Dazu benutzen wir die Formel: Auch für x2=1 ergibt sich eine wahre Aussage und somit ist x2=1 eine Lösung. Probe für x3= –4: Setzt man x3= –4 in die Wurzelgleichung ein, so ergibt sich ein negativer Radikand, d.h. die Wurzeln werden undefiniert. Dies bedeutet, dass x3= –4 keine Lösung ist. Lösungsmenge: Die Lösungsmenge besteht also aus den beiden Zahlen Null und 1: