Umordnungen von
absolut konvergenten Reihen sind erlaubt,
d.h. sie ändern den
Grenzwert nicht
Einführung
Wir haben gerade gelernt:
Wenn man eine unendliche Reihe umordnet,
dann kann sie nicht nur
den Wert verändern, gegen den sie konvergiert,
sondern eine konvergente
Reihe kann zu einer divergenten Reihe werden,
und umgekehrt.
Eine absolut
konvergente Reihe kann beliebig umgeordnet werden,
ohne das sich der Wert ändert, gegen den sie
konvergiert.
Beispiel
Die folgende Reihe konvergiert nach dem Leibnitzschen
Konvergenzkriterium.
Da die Reihe aus zwei geometrischen Reihen besteht, kann man den
Grenzwert der Reihe berechnen: Erst ist 1/3.
Die Reihe konvergiert auch dann noch, wenn man die Absolutbeträge
bildet, denn
dann konvergiert die Reihe nach dem Quotientenkriterium (mit q=2).
Die Reihe ist also absolut konvergent.
Und weil die Reihe absolut konvergent ist, kann man (aufgrund des oben
erwähnten
Satzes) von der oben genannten Reihe sn
eine beliebige Umordnung bilden,
ohne das sich der Wert ändert, gegen den die Reihe konvergiert.
Zum Beispiel konvergiert auch die folgende Umordnung un
gegen 1/3,
bei der auf zwei positive Glieder ein negatives folgt:
