Extrema

Praktischer Nutzen des sogenannten
"notwendigen Kriteriums"

Worum geht es auf dieser Seite

Um zu erklären, was wir auf dieser Seite lernen werden, fassen wir
zunächst zusammen, was wir auf den vorigen Seiten gelernt haben:
Wenn ein Extremum vorliegt, dann ist die erste Ableitung gleich Null.

Leider gilt die Umkehrung dieses Satzes nicht. Vielmehr gilt: Wenn die erste
Ableitung gleich Null ist, dann liegt entweder ein Extremum oder ein Sattelpunkt vor:

Wir sehen also, dass die Bedingung f '(x)=0 keinen eindeutigen Schluß zuläßt,
ob tatsächlich ein Extremum vorliegt (denn es kann ja auch ein Sattelpunkt sein).

Wir wollen auf dieser Seite zwei Gründe anführen, warum die beiden Sätze trotzdem
Grundlage für die Bestimmung von Extrempunkten sind (Satz 2), bzw. dass man
mit ihnen bereits die Nicht-Existenz eines Extremums beweisen kann (Satz 1).

Beweis der Nicht-Existenz von Extrema

Wir haben bereits eine "notwendige Bedingung" für das Vorhandensein eines
Extremums an der Stelle x₀ kennengelernt: Wenn ein Extremum bei x₀ vorliegt,
dann hat die erste Ableitung dort eine Nullstelle:

Diese Aussage bedeutet aber auch: Wenn die erste Ableitung einer Funktion
keine Nullstellen hat, dann hat die Funktion keine Extrema:

Falls eine Funktion keine Extrema hat, dann können wir diesen Satz benutzen,
um dies zu beweisen.

Beispiel:
Gegeben sei die Funktion f(x)=x³+x
Wir bilden die erste Ableitung: f '(x)=3x²+1
Wir versuchen die Nullstellen der ersten Ableitung zu ermitteln: 3x²+1=0
Die Gleichung ist unlösbar. Somit hat die erste Ableitung keine Nullstellen,
und daher hat die Funktion f(x)=x³+x keine Extrema. Dies sieht man auch am Bild:

Vorauswahl der möglichen Extremstellen

Betrachten wir nun Satz 2:

Mit diesem Satz kann man zwar noch nicht eindeutig die Extrema einer Funktion
bestimmen, aber mit Hilfe dieses Satzes kann man eine Vorauswahl treffen.

Beispiel:
Nehmen wir an, eine Funktion hat drei Extrema und zwei Sattelpunkte.
Dann bestimmt man die Nullstellen der 1.Ableitung. Man erhält fünf Stellen,
an denen entweder ein Extremum oder ein Sattelpunkt vorliegt (d.h. man
erhält fünf kritische Stellen). Alle anderen Stellen der Funktion brauchen
nicht weiter untersucht zu werden, denn dort liegt weder ein Extremum
noch ein Sattelpunkt vor).

Unser nächstes Ziel muß also sein, zwischen Extrema und Sattelpunkten
unterscheiden zu können. Dazu dient das sogenannte "hinreichende Kriterium",
dass wir auf der nächsten Seite kennenlernen werden.