Extrema

Methode 1:
Tabelle anlegen

Worum geht es auf dieser Seite

Auf den vorigen Seiten haben wir theoretisch gelernt, welche Bedingungen vorliegen müssen,
damit eine Stelle x₀ eine Extremstelle ist: Ein Extremum an der Stelle x₀liegt genau dann vor,
wenn die erste Ableitung dort Null ist und wenn sie an der Stelle x₀ihr Vorzeichen wechselt:

Die erste Bedinung, d.h. f '(x₀)=0 , ist leicht zu überprüfen. Man muß nur die
erste Ableitung berechnen und sie dann mit Null gleichsetzen. Die zweite Bedingung,
d.h. der Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung an der Stelle x₀,
ist ebenfalls leicht zu überprüfen. Eine der möglichen Methoden dazu ist das
Tabellenverfahren, das wir hier vorstellen:

	Die Lösungsidee des Tabellenverfahrens
	Um den "Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung" an einer Stelle x₀ zu überprüfen, muß man eine Stelle kurz vor der Stelle x₀ und eine Stelle kurz nach der Stelle x₀ wählen. Dann berechnet man das "Vorzeichen der ersten Ableitung" an diesen Stellen. Wechselt das Vorzeichen, dann liegt ein Extremum vor; bleibt es gleich, dann liegt ein Sattelpunkt vor.

Die Theorie des Tabellenverfahrens

	Gegeben sei die Funktion f(x)=x²–4x+5. Wie man sieht, hat sie ein Minimum. Wir wollen zeigen, wie man das Minimum rechnerisch ermittelt.
	Wir berechnen und zeichnen ihre 1.Ableitung f '(x). Sie lautet f '(x)=2x–4 und ist im Bild links zu sehen. Jetzt berechnen wir mögliche Extremstellen, indem wir die Nullstellen der ersten Ableitung berechnen. Dazu setzen wir die erste Ableitung gleich Null: 2x–4=0. Die Lösung dieser Gleichung ist x=2. Die Stelle x=2 ist also eine mögliche Extremstelle, die wir nun weiter untersuchen.
	Nun wählen wir einen Punkt vor der Stelle x₀ und einen Punkt nach der Stelle x₀. Wir wählen x=1 und x=3. Dann berechnen wir das "Vorzeichen der ersten Ableitung" an diesen Stellen, indem wir die Funktionwerte berechen: f '(1)=–2 bzw. f '(3)=+2. Weil das Vorzeichen wechselt, liegt ein Extremum vor (Anmerkung: Natürlich kann man den Vorzeichen- wechsel im Bild auch ohne Rechnung erkennen).
	Jetzt müssen wir nur noch überlegen, ob ein Minimum oder ein Maximum vorliegt. Wir lernten bereits: Wenn das Vorzeichen der 1.Ableitung von negativ zu positiv wechselt, dann liegt ein Minimum vor.

Das praktische Verfahren wird auf der nächsten Seite erklärt.