Extrema

Beispiel mit
Sattelpunkt

	Worum geht es
	Beim Tabellenverfahren kommt es natürlich auch vor, dass eine der "Nullstellen der 1.Ableitung" kein Extremum ist, sondern ein Sattelpunkt. Man erkennt es daran, das die Funktion sowohl vor als auch nach dieser Stelle steigt, bzw. vor und nach dieser Stelle fällt. Beispiel:

	Schritt 1: Ableitung ermitteln
	Gegeben sei die Funktion: Wir ermitteln die erste Ableitung (in diesem Fall durch Anwenden der Summenregel und der Potenzregel):

	Schritt 2: Ableitung gleich Null setzten
	Wir setzen die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extrema zu ermitteln:

	Schritt 3: Entstehende Gleichung lösen
	Diese quadratische Gleichung könnte man mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen lösen. Das geübte Auge erkennt aber, dass man die 1.Binomische Formel anwenden kann, wenn man die Gleichung zuvor durch 3 teilt: Jetzt die 1.Binomische Formel anwenden: Die Lösung kann man nun unmittelbar ablesen: x= –1.

Schritt 4: Tabelle erstellen

Diese Stelle tragen wir nun in eine Tabelle ein. Wir kennzeichnen diese Stelle,
indem wir sie mit "mögliches Extremum" beschriften. Zusätzlich tragen wir in die
Tabelle die Intervalle ein, die vor und nach dieser Stelle liegen:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis

<= mögliches Extremum

Nun wählen wir in den Intervallen eine beliebige Stelle (möglichst einfache Werte nehmen),
und berechnen, welchen Wert die 1.Ableitung dort hat. Wir wählen –2 und 0 :

Die gewählten Stellen und das zugehörige "Vorzeichen der 1.Ableitung"
(das sich an diesen Stellen ergibt) tragen wir in die Tabelle ein:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	positiv
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis	0	positiv

<= mögliches Extremum

Das Vorzeichen der 1.Ableitung ist ja die Steigung der Funktion:
Eine positive 1.Ableitung bedeutet, dass die Funktion steigt.
Eine negative 1.Ableitung bedeutet, dass die Funktion fällt.
Wir tragen das Verhalten der Funktion in die letzte Spalte ein:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	positiv	steigt
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis	0	positiv	steigt

<= mögliches Extremum

Nun können wir erkennen, ob ein Extremum vorliegt.
Weil die Funktion sowohl vor der Stelle x=–1 als auch nach dieser
Stelle steigt, liegt kein Extremum vor, sondern ein Sattelpunkt:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis –1	–2	positiv	steigt
–1	– – –	Null	horizontal
–1 bis	0	positiv	steigt

<= Sattelpunkt