Vorgehensweise
bei Polstellen |
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Wiederholung des
Tabellenverfahrens |
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Zuerst wollen wir ganz kurz wiederholen, wie das Tabellenverfahren
funktioniert:
Man ermittelt "mögliche Extremstellen" indem man die erste
Ableitung mit Null
gleichsetzt, und dann die Steigung der Funktion (1.Ableitung)
kurz vor und kurz
nach dieser Stelle untersucht.
Das folgende Bild zeigt eine Funktion mit Extremstelle bei x=0 und zwei
gewählte Stellen,
die eine Stelle kurz vor der Extremstelle und eine Stelle kurz nach der
Extremstelle:
Nun benutzen wir das Tabellenverfahren: Wenn man jetzt die Steigung an
den
gewählten Stellen ermittelt, kann man berechnen, ob ein Sattelpunkt, ein
Minimum
oder ein Maximum vorliegt. Im Beispiel liegt ein Minimum vor, weil die
Funktion
vor der möglichen Extremstelle (gelb) fällt, und nach ihr steigt.
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Das Problem bei Polen |
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Wendet man das Tabellenverfahren auf eine Funktion mit Polen an,
dann wird
es in der Regel auch funktionieren. Die Funktion im Bild hat bei x=0
einen Pol
und bei x=1 ein Minium (gelb). Weil die Funktion vor dem möglichen
Extremum
fällt (linker blauer Punkt) und nach ihr steigt (rechter blauer Punkt),
muß es
sich um ein Extremum handeln:
Untersucht man aber die Steigung der Funktion (die 1.Ableitung) zu weit
vom
Extremum entfernt (im Bild unten ist die linke blaue Stelle zu weit entfernt),
dann
kann dort die Steigung ein anderes Vorzeichen haben. Das
Tabellenverfahren
liefert dadurch natürlich ein falsches Ergebnis. Genauer: Weil die
Steigung an
beiden blauen Punkten positiv ist, würde man fälschlicherweise einen
Sattelpunkt
annehmen:
Wir müssen also die Lage der Pole genau kennen, und diese im
Tabellenverfahren
berücksichtigen, genauer: Wir müssen die Pole berechnen und in die
Tabelle eintragen,
und dann darauf achten, dass kein Pol zwischen dem möglichen Extremum
und den
gewählten Stellen liegt. Dazu ein Beispiel auf der folgenden Seite:
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