Extrema

Beispiel:
Das Tabellenverfahren
bei einen Extremum

	Schritt 1: Ableitung ermitteln
	Gegeben sei die Funktion: Wir ermitteln die erste Ableitung (in diesem Fall durch Anwenden der Summenregel und der Potenzregel):

	Schritt 2: Ableitung gleich Null setzen
	Wir setzen die erste Ableitung gleich Null, um mögliche Extrema zu ermitteln:

	Schritt 3: Entstehende Gleichung lösen
	Wir lösen diese Gleichung durch Umstellen nach x: Jetzt haben wir die Stelle berechnet, an denen entweder ein Extremum oder Sattelpunkt vorliegt. Um zu unterscheiden, ob nun ein Sattelpunkt oder ein Extremum vorliegt, sowie zur Unterscheidung zwischen Minimum und Maximum, ist der folgende Schritt nötig.

Schritt 4: Tabelle erstellen

Diese Stelle tragen wir nun in eine Tabelle ein. Wir kennzeichnen diese Stelle,
indem wir sie mit "mögliches Extremum" beschriften. Zusätzlich tragen wir in die
Tabelle die Intervalle ein, die vor bzw. nach dieser Stelle liegen:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis 2
2	– – –	Null	horizontal
2 bis

<= mögliches Extremum

Nun wählen wir in den Intervallen eine beliebige Stelle (möglichst einfache Werte nehmen),
und berechnen, welchen Wert die 1.Ableitung dort hat. Wir wählen 1 und 3:

Die gewählten Stellen und das zugehörige "Vorzeichen der 1.Ableitung"
(das sich an diesen Stellen ergibt) tragen wir in die Tabelle ein:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis 2	x=1	negativ
2	– – –	Null	horizontal
2 bis	x=3	positiv

<= mögliches Extremum

Das Vorzeichen der 1.Ableitung ist ja die Steigung der Funktion:
Eine positive 1.Ableitung bedeutet, dass die Funktion steigt,
eine negative 1.Ableitung bedeutet, dass die Funktion fällt.
Wir tragen die Steigung der Funktion in die letzte Spalte ein:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis 2	x=1	negativ	fällt
2	– – –	Null	horizontal
2 bis	x=3	positiv	steigt

<= mögliches Extremum

Nun können wir erkennen, ob und welches Extremum vorliegt. Weil die Funktion
vor der Stelle x=2 fällt und danach steigt, liegt dort ein Minimum vor:

x	Gewählt:	1.Ableitung	Funktion
– bis 2	x=1	negativ	fällt
2	– – –	Null	horizontal
2 bis	x=3	positiv	steigt

<= Minimum

	Schritt 5: y-Koordinate der Extremstelle berechnen
	Wir wissen bereits, dass x=2 eine Minimumstelle der Funktion ist. Um die y-Koordinate des Minimums zu erhalten, müssen wir x=2 in die gegebene Gleichung f(x) einsetzen. Die gebebene Gleichung war: Nun setzen wir x=2 ein, und erhalten: Die Koordinaten des Minimums M lauten also M(2/1)

	Schritt 6: Bild