Extrema

Erste
nichtverschwindende
Ableitung ermitteln

Vorwort: Vergleich mit Methode Nr.3

Wir haben auf den vorigen Seiten eine Methode der Extremstellenberechnung
kennengelernt, die wir Untersuchung der 2.Ableitung nannten.
Die Methode der "Untersuchung der 2.Ableitung" , die übrigens ein Sonderfall
der Methode ist, die wir jetzt erklären wollen, hat aber einen großen Nachteil:
Die Methode liefert kein Ergebnis liefert, wenn die zweite Ableitung gleich Null ist.

In diesem Fall hilft meist die nun folgende Methode weiter. Sie nennt sich
Ermittlung der ersten nichtverschwindenden Ableitung und führt (fast) immer zum Ziel.

Erklärung der Methode

Schritt 1:

Zuerst bilden wir die 1.Ableitung der Funktion und setzen sie gleich Null.
Wir lösen diese Gleichung, und erhalten die Stellen x₁, x₂, x₃, ...
wobei jede von ihnen entweder eine Extremstelle oder eine Sattelstelle sind.

Schritt 2 (muß für alle x₁, x₂, x₃, ... durchgeführt werden, hier nur für x₁ erklärt):

Wir bilden nun die nachfolgenden Ableitungen (2.Ableitung, 3.Ableitung, 4.Ableitung usw.)

Nach jedem Ableiten berechnen wir, ob diese Ableitung an der Stelle x₁ungleich Null ist. Man nennt sie dann eine "nichtverschwindende Ableitung".
Wenn wir eine nichtverschwindende Ableitung finden, brechen wir Schritt 2 ab.

Schritt 3 (muß für alle x₁, x₂, x₃, ... durchgeführt werden, hier nur für x₁ erklärt):

Aus Schritt 2 wissen wir, ob die erste nichtverschwindende Ableitung eine
gerade Ableitung war, wie zum Beispiel f " , f ⁽⁴⁾ , f ⁽⁶⁾ , f ⁽⁸⁾ , ...
oder eine ungerade Ableitung, wie zum Beispiel: f ⁽³⁾ , f ⁽⁵⁾ , f ⁽⁷⁾ , f ⁽⁹⁾ , ...

     Wenn die erste nichtverschwindende Ableitung an der Stelle x₁ eine
     ungerade Ableitung ist, dann hat die Funktion f(x) an dieser Stelle eine Sattelstelle.

      Wenn die erste nichtverschwindende Ableitung an der Stelle x₁ eine
      gerade Ableitung ist, dann hat die Funktion f(x) an dieser Stelle ein Extremum.

Falls ein Extremum vorliegt, kann man nochmal unterscheiden:

     Ist die erste nichtverschwindende Ableitung gerade (d.h. ein Extrem liegt vor)
     und an der Stelle x₁ positiv, so liegt ein Minimum vor.

     Ist die erste nichtverschwindende Ableitung gerade (d.h. ein Extrem liegt vor)
     und an der Stelle x₁ negativ, so liegt ein Maximum vor.

Auch wenn ein Sattel vorliegt, kann man nochmal unterscheiden:

     Ist die erste nichtverschwindende Ableitung ungerade (d.h. ein Sattel liegt vor)
     und an der Stelle x₁ positiv, so liegt ein steigender Sattel vor.

     Ist die erste nichtverschwindende Ableitung ungerade (d.h. ein Sattel liegt vor)
     und an der Stelle x₁ negativ, so liegt ein fallender Sattel vor.