Einleitung

Auf dieser Seite überlegen wir uns, wieviel Nullstellen
eine ganzrationale Funktion höchstens haben kann.

Glücklicherweise brauchen wir hier nicht zwischen
geraden und ungeraden Grad unterscheiden, sondern
es gilt für alle ganzrationalen Funktionen der Satz:
   

Satz über Höchstzahl der Nullstellen

Beweis

Gegeben sei eine ganzrationale Funktion:

          f(x) = a_nxⁿ   + a_n-1x^n-1 + ...  +  a₁x + a₀  

Eine Nullstelle sei x₁. Laut dem Nullstellensatz (Kapitel 5)
dürfen wir deshalb den Linearfaktor (x-x₁) abspalten :

          f(x) = (x-x₁)·(a_n-1x^n-1 + ...  +  a₁x + a₀ )          

Wie man sieht hat sich der Grad des Polynoms in der
rechten Klammer um 1 vermindert. Dies bedeutet,
bei einem Polynom n-ten Grades können wir höchstens
n-mal einen Faktor abspalten. Die n abgespaltenen Faktoren
bedeuten aber n Nullstellen, denn jede abgespaltene
Linearfaktor steht ja für eine Nullstelle.

Beispiel

Gegeben sei:

      f(x) = x³ -6x² + 11x  -6       

Eine Nullstelle ist 1. Wir spalten (x-1) ab:

      f(x) = (x-1)·(x² -5x +6)

Eine weitere Nullstelle ist 2. Wir spalten (x-2) ab:

      f(x) = (x-1)·(x-2)·(x-3)

Mehr Linearfaktoren kann man nicht abspalten. Wir hatten
ein Polynom 3. Grades, und konnten das Polynom in drei
Linearfaktoren spalten, die drei Nullstellen bedeuten.