Erklärung

Im folgenden betrachten wir die Funktion:  f(x)=3x³-9x+6 :

    
Die Nullstellen sind die Lösungen der zugehörigen
algebraischen Gleichung:
    
          3x³-9x+6 = 0
    
Wir versuchen eine erste Lösung durch Raten zu finden, und
beginnen wie immer unter den Teilern des Absolutgliedes.
Wir erraten die Lösung x₁= 1 . Weil x=1 eine Lösung ist,
dürfen wir den Linearfaktor (x-1) abspalten:
    
        (3x³-9x+6) = (x-1)·(3x²+3x-6)
    
Die rechte Klammer von ist eine quadratische Funktion.
Wir bilden ihre Normalform, indem wir 3 ausklammern:
    
          (3x³-9x+6) = 3(x-1)(x²+x-2)
    
Die weiteren Nullstellen der Funktion f(x) sind die Nullstellen
der quadratischen Funktion in der rechten Klammer von ,
die man am besten mit der pq-Formel löst. Man erhält:
    
          x₂=1       und   x₃= -2
    
Nun benutzen wir den Satz von Vieta (für quadratische
Funktionen), und zerlegen damit die quadratische Funktion,
die in der rechten Klammer von steht:
    
          (3x³-9x+6) = 3(x-1)(x-1)(x+2)
    
Hier tritt nun der interessante Fall ein, daß der Linearfaktor (x-1) doppelt auftritt, also die Nullstelle x=1 doppelt vorhanden ist.
    
Auf der folgenden Seite untersuchen wir den Graph an der
einfachen und an der doppelten Nullstelle.