Zurück zur Homepage Laplace Transformation (Stand 8.4.2019) 1. Einführung      1.1 Was ist überhaupt eine Transformation?       1.2 Die Laplace Transformation von f(t)=1                 Hinweis: Die restlichen Videos des Kapitels 1 kann man überspringen. Der Praktiker benutzt nämlich      (wie gesagt) eine Tabelle, um die Laplace Transformation zu ermitteln (siehe z.B. die Tabelle auf wikipedia)                1.3 Die Laplace Transformation von f(t)=eat        1.4 Hilfsvideo für das folgende Video: Die exp-Funktion steigt schneller als jede Potenzfunktion      1.5 Die Laplace Transformation der Potenzfunktion t^n (inkl. Konvergenzbereich)      1.6 Die Laplace Transformation der Sinusfunktion (inkl.Konvergenzbereich)          Fremdvideo:       Laplace Transformation vom an- und abgeschnittenen Sinus (Lovischach)

2. Theoretisches Hintergrundwissen zur Laplace Transformation?        Hinweis: Anfänger sollten Kapitel 2 zunächst überspringen und später zurückkehren (oder ganz übergehen)        2.1 Woher kommt die Laplace-Transformation (Teil 1)        2.2 Die Herleitung im Detail           2.3 Der Zusammenhang zur Fourier-Transformation

3. Regeln für die Transformation vom Zeit- in den Bildbereich        3.1 Überblick über die Regeln        3.2 Die Linearität: Summenregel und Faktorregel        3.3 Sinus-Multiplikation im Zeitbereich        3.4.Verschiebung im Bildbereich              3.4.1 Beweis des 1.Verschiebesatzes        3.4.Ableitung im Bildbereich        3.5 Verschiebesatz im Zeitbereich         3.6 Ähnlichkeitssatz        3.7 Der 2.Verschiebesatz im Zeitbereich              3.7.1 Trick zum 2.Verschiebesatz. Beispiel 1                       3.7.2 Trick zum 2.Verschiebesatz: Beispiel 2       Mehr Regeln (z.B. Faltungen): Siehe weiter unten!

4. Regeln für die Rücktransformation aus dem Bildbereich        Hinweis: Da Partialbruchzerlegungen nicht nur im Zusammenhang mit der Laplace-Rücktransformation vorkommen,        sondern z.B. auch in der Integralrechnung, erkläre ich die Partialbruchzerlegung in einem eigenen Kurs: Kurs Partialbruchzerlegung        4.1 Überblick über die Methoden der Rücktransformation        4.2 Beispiel für eine konventionelle Umformung vor der Rücktransformation        4.3 Verschiebung im Bildbereich              4.3.1 Beispiel               4.3.2 Beweis

5. Sprünge und Impulse        Einführung:        5.1 Einheitssprungfunktion und Impuls        5.2 Diverse weitere Sprünge        5.3 Impuls durch ein Produkt von Sprungfunktionen        Die Sprungfunktion s(t-a) als Schalter:        5.4 Einfacher Schalter: f(t)·s(t–a)        5.5 Verschiebung mit Schalter: f(t–a)·s(t–a)         2. Verschiebesatz im Zeitbereich:        5.6 Transformation von s(t–a)        5.7 Transformation von f(t–a)·s(t–a)        5.8 Trick ermöglicht Anwendung, wenn Verschiebung unterschiedlich         5.9  Zweites Beispiel zu diesem Trick        Dirac Delta Funktion:        5.10 Definition der Dirac-Delta Funktion δ(t–c)            5.11 Integrale der Dirac-Delta Funktion: ∫δ(t–c) dt        5.12 Integrale der Dirac-Delta Funktion: ∫δ(t–c)·f(t) dt        Die Laplace-Transformation der Dirac Delta Funktion:        5.13 L{δ(t–c)}  (folgt später)        5.14 L{δ(t–c)·f(t)}

6. Faltungen        Hinweis: Die Beweise dürfen wieder problemlos übersprungen werden        Einführung:        6.1 Wozu Faltungen in der Laplace Transformation        6.2 Definition der Faltung        6.3 Faltung anschaulich: Summe von Impulsnachwirkungen        6.4 Beweis der Faltung        Geometrische Darstellung der Faltung:        6.5 Animation: Faltung zweier Impulse        6.6 Erklärung der Animation        Von der Faltung zum Faltungssatz:        6.7 Der Faltungssatz der Laplace Transformation        6.8 Beispiel (folgt später)        Eigenschaften der Faltung:        6.9   Kommutativität, Assoziativität und Distributivität        6.10 Beweis: Kommutativität        6.11 Beweis: Distributivität        6.12 Beweis: Assoziativität (Fubini Theorem)

7. Einzelne Differentialgleichungen und Integralgleichungen lösen         Herleitung der Formeln für Ableitungen         Hinweis: Praktiker können alle Herleitungen überspringen        7.1 Herleitung: Transformation der 1.Ableitung        7.2 Herleitung: Transformation der 2.Ableitung        7.3 Herleitung: Transformation der n-ten Ableitung (folgt später)        7.4 Herleitung: Transformation eines Integrals        Notes on the derivative formula at t = 0        Jetzt geht es los:        7.5 Differentialgleichung 1.Ordnung lösen         7.6 Anwendung: Entladekurve eines Kondensators berechnen        7.7 Differentialgleichung mit Störfunktion,die stückweise definiert ist (Hausaufgabe)        Links zu anderen Dozenten:        DGL 2.Ordnung lösen (Uni Ruhr-West)        DGL 2.Ordnung lösen (Prof. Loviscach)         Aufgabensammlung (kein Video) der Uni-Stuttgart

8. Systeme von Differentialgleichungen lösen         8.1 System 1.Ordnung lösen        8.2 Systeme welche ohne Transformation lösbar sind (folgt später)

9. Fragen        9.1 Warum wird in manchen Tabellen im Zeitbereich der Faktor u(t) zu allen Funktionen hinzugefügt?

A. Aufgaben (Links)        A.1 Aufgaben der Uni-Stuttgart