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Beweis |
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Wir wollen nun beweisen, warum das
"Verfahren zur Inversion von Matrizen"
überhaupt funktioniert.
Alles was wir bis jetzt über Matrizen wissen, ist die Definion der inversen Matrix A–1,
und deshalb müssen wir unsere Überlegungen auch mit dieser Formel beginnen:
A·A–1 = 1n
Wir müssen anscheinend "nur" noch dafür sorgen, daß A–1 auf
der linken Seite
allein steht, und schon haben wir eine Formel für die inverse Matrix A–1
gefunden.
Der Anfänger würde nun vielleicht auf die Idee kommen, beide Seiten durch A zu teilen,
doch A ist ja eine Matrix, und eine Division durch eine Matrix haben wir nicht definiert.
Es gibt aber eine Möglichkeit um A–1 auf der linken Seite zu isolieren:
Wir multiplizieren beide Seiten der Gleichung von links
(Links-Multiplikation)
mit einem (noch unbekannten) Produkt aus
n-Elementarmatrizen en·...·e2·e1 :
(en·...·e2·e1)·A·A–1 = (en·...·e2·e1)·1n
Assoziativgesetz auf der linken Seite anwenden:
(en·...·e2·e1·A)·A–1 = (en·...·e2·e1)·1n
(Gleichung
1a)
Elementarmatrizen entsprechen aber elementaren Zeilen-Umformungen. Nun wählen wir
die Elementarmatrizen (en·...·e2·e1) so aus, daß sie
den Zeilenumformungen entsprechen,
die die Matrix A in 1n umwandeln.
(en·...·e2·e1·A) = 1n
(Gleichung 2)
Dann verwandelt sich Gleichung 1a:
1n·A–1 = (en·...·e2·e1)·1n
(Gleichung 1b)
... und weil die Multiplikation mit 1n die Matrix A–1
unverändert läßt:
A–1 = (en·...·e2·e1)·1n
(Gleichung 1c)
Schon ist die Formel für die inverse Matrix ist gefunden! Aber wir müssen noch
unbekannten Elementarmatrizen (en·...·e2·e1) in dieser
Formel bestimmen.
Dazu schreiben wir beide ermittelten bzw. definierten Gleichungen auf:
(en·...·e2·e1·A) = 1n
(Gleichung 2)
A–1 = (en·...·e2·e1)·1n
(Gleichung 1c)
Nun lesen wir die Gleichungen:
Wenn wir die Elementarmatrizen bzw. elementaren
Zeilenumformungen,
welche die die Matrix A in die Einheitsmatrix 1n
umwandeln, in Gleichung 1c
auf eine Elementarmatrix 1n anwenden, dann erhält man
die inverse Matrix A–1.
Genau das ist aber das "Verfahren zur Matrizeninversion", daß wir beweisen
wollten. |
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