Ungleichung liegt als Polynom vor und muß
daher vorher in Faktoren zerlegt werden |
 |
Erklärung |
|
Im allgemeinen wird eine Polynomungleichung leider nicht in Produktform
vorliegen, sondern das Polynom wir in "normaler" Form erscheinen.
Dann müssen wir die Produktform zunächst herstellen. Dazu berechnen
wir die Nullstellen des Polynoms, indem wir das Polynom gleich Null
setzen
und die entstandene Gleichung lösen (z.B. durch Probieren):
Sind dann die n reellen Nullstellen des Polynoms bekannt, dann können
wir n
Linearfaktoren
abspalten, im Beispiel den Linearfaktor (x–1):
Dann dividieren wir die Ungleichung durch das nicht-zerlegbare Restpolynom,
also im Beispiel durch (x4+4):
Bei dieser Division sind 3 Dinge zu beachten:
Die Division durch das Restpolynom (x4+4)
ist erlaubt, d.h. es findet keine
verbotene Division durch Null statt. Grund: Das Polynom ist ja nicht zerlegbar,
daher hat es keine Nullstellen und kann somit
nicht Null werden.
Außerdem ist das Restpolynom entweder (für alle x)
positiv (wie in unserem Beispiel)
oder (für alle x) negativ. Grund: Das Restpolynom ist ja nicht in
Linearfaktoren
zerlegbar, hat daher auch keine Nullstellen und wechselt deshalb
sein Vorzeichen nicht.
Wir müssen bei der Division aber auf das Vorzeichen
des Polynoms achten:
In unserem Beispiel ist das Restpolynom ein (für alle x)
positives Polynom.
Stände dort aber ein stets negatives Polynom, z.B. (–x4–4),
dann müßte man
das Ungleichheitszeichen umdrehen, denn wir würden ja durch eine
negative
Zahl dividieren.
Es bleibt eine Ungleichung übrig, in der nur noch Linearfaktoren
vorkommen,
und die wir daher leicht lösen können:
Auf beiden Seiten "1" addieren ergibt die
Lösung:
 |
| |
|