Linearfaktoren, die
n-mal auftreten
(d.h. in der n-Potenz),
wobei n gerade sei. |
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Überblick und Videos |
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Auf dieser Seite erklären wir drei Methoden, wie man mit
Linearfaktoren umgeht,
die n-mal auftreten, d.h. in der n-ten Potenz, wobei n eine gerade Zahl
sein soll.
Zu allen Methoden gibt es je einen Trickfilm. Du kannst die Filme in einem
neuen
Fenster laden, während du diese Seite liest. Klicke dazu auf folgende
Links:
Methode 1:
Den n-fachen Linearfaktor ganz normal in die Vorzeichentabelle eintragen
Methode 2:
Überlegen, warum der n-fache Linearfaktor (n=gerade) immer
positiv ist
Methode 3:
Polynomungleichung durch den n-fachen Linearfaktor teilen
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Methode 1: Vorzeichentabelle
normal ausfüllen |
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Gegeben sei eine Polynomungleichung, in der ein Linearfaktor in einer
geraden Potenz
auftritt. Im Beispiel tritt der Linearfaktor (x–3) in der zweiten Potenz
(d.h. zweimal) auf:
Das einfachste ist es, den doppelten Linearfaktor (x–3)2
wie üblich in die
Vorzeichentabelle einzutragen, und für (x–3)2 und den anderen
Linearfaktor (x–4)
das Vorzeichen zu bestimmen:
Als Beispiel berechnen wir das Vorzeichen von (x–3)2 im
Intervall (– ,3).
Wie üblich wählen wir dazu eine Zahl aus dem Intervall (–,3),
z.B. die Zahl 1.
Setzen wir 1 in den doppelten Linearfaktor (x–3)2 ein,
so erhalten wir 4, also eine
positive Zahl. Wir tragen also ein "Plus" in die entsprechende Stelle
der Tabelle ein:
Nun ermitteln wir auf die gleiche Weise die anderen Einträge:
Die Lösungs lautet dann: L={x|x<4}. Es fällt auf, dass der doppelte
Linearfaktor (x–3)2
nur positive Einträge hat. Dies wird in der nächsten
Lösungsmethode aufgegriffen.
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Methode 2: Überlegen, warum
der Faktor stets positiv |
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Der Faktor (x–3)2 hat in der Tabelle stets einen positiven
Eintrag. Dies ist kein Zufall.
Das Quadrat (d.h. die 2.Potenz) einer Zahl oder eines Terms ist stets
positiv oder Null.
Der Faktor (x–3)2 wäre aber nur dann Null, wenn x=3. Die Zahl
3 ist aber in keinem
Intervall zu finden, und daher ist der Faktor stets positiv. Die
Bestimmung der
Vorzeichen
von (x–3)2 in den einzelnen Intervallen erübrig sich daher:
Das
Vorzeichen ist stets positiv:
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Methode 3: Durch die Potenz
teilen |
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Gegeben sei wieder die Polynomungleichung:
Die Lösungsidee besteht nun darin, dass wir die Ungleichung durch die
Potenz dividieren,
denn dann erscheint die Potenz (x–3)2 überhaupt nicht in der
Tabelle:
Wir fragen uns zuerst jedoch, ob wir überhaupt durch (x–3)2
dividieren dürfen,
und wiederholen zu diesem Zweck die Äquivalenzumformungen für
Ungleichungen:
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Wiederholung
der Äquivalenzumformungen für Ungleichungen:
1. Man darf durch eine positive Zahl
(oder einen stets positiven Term) dividieren.
2.
Man darf auch durch eine negative Zahl (oder einen stets
negativen Term)
dividieren, jedoch muß man dann das Ungleichheitszeichen
umdrehen.
Verboten sind dagegen die folgenden
zwei Umformungen:
1.
Auf keinen Fall darf man durch Null dividieren, oder durch einen
Term,
der
den Wert Null annehmen kann. Die Division durch Null ist ja
verboten.
2. Zweitens ist es verboten, eine Ungleichung durch
einen Term
zu dividieren,
der sowohl positive als auch negative Werte
annehmen kann. Dabei könnten
Lösungen verloren gehen. |
Für uns bedeutet dies, dass wir untersuchen müssen, welche Wert der
Term (x–3)2
annehmen kann:
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Fall 1: Der Term (x–3)2 kann positive Werte
annehmen, z.B. für x=100.
Fall 2: Der Term (x–3)2 kann den Wert Null annehmen, und
zwar wenn x=3.
Fall 3: Der Term (x–3)2 kann aber nie negativ werden,
denn Quadrate sind nie negativ.
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Wir müssen daher eine Fallunterscheidung in Fall 1 und Fall 2 machen
(wobei Fall 2 übrigens grundsätzlich als Lösung die leere Menge hat).
Die gegebene Polynomungleichung habe ich jeweils nochmal aufgeschrieben
(in blau):
Zuerst löse ich Fall 1: Hier ist (x–3)2 stets positiv, und
ich darf daher durch (x–3)2
dividieren. Anschließend vereinfache ich die Ungleichung (kürzen)
und erhalte die
Lösungsmenge L1 für Fall 1:
Jetzt löse ich Fall 2: Weil laut Voraussetzung im Fall zwei (x–3)2=0,
ersetzen
wir in der gegebenen Ungleichung diese Potenz durch Null. Als Lösung
erhalten
wir dann die leere Menge:
Die Lösungsmenge der Polynomungleichung ist nun die Vereinigungsmenge
der Lösungsmengen der beiden Fälle:
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