x³ < a
(a nicht-negativ) |
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Lösungsverfahren |
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Gegeben ist eine Potenzungleichung mit ungeradem Exponent:
Die Lösungen der Ungleichung können sowohl positiv sein (z.B. x=1) als auch negativ.
Die linke Seite der Ungleichung kann daher sowohl positiv oder negativ
werden.
Wir müssen daher eine Fallunterscheidung machen:
Die Lösungsmenge ist die Vereinigungsmenge beider Fälle, also: x < 2
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Praktisches Vorgehen in der
Schule |
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Die Erklärungen verlaufen analog zu den Erklärungen der vorigen Seite.
Gegeben ist wieder die Potenzungleichung:
Meist wird diese Potenzungleichung ohne Fallunterscheidung gelöst.
Dies ist zwar total falsch, führt aber zufälligerweise zum richtigen
Ergebnis.
Zuerst ziehen wir auf beiden Seiten die dritte Wurzel:
Dann wenden wir auf der linken Seite das folgende Wurzelgesetz an:
Wir erhalten
Erkärung:
Zuerst haben wir radiziert, wodurch der Definitionsbereich eingeschränkt
wurde
und Lösungen verloren gingen. Dann haben wir ein Wurzelgesetz
angewendet,
dass eigentlich nur für nicht-negative x gilt. Dadurch hat sich der
Definitionsbereich
wieder vergrößert. Beide Fehler, d.h. die Verkleinerung und
anschließende
Vergrößerung des Definitionsbereiches, heben sich also gegenseitig auf.
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