Im Schritt 1 ist eine absolut konvergente Reihe und eine
Umordnung derselben gegeben.
Im Schritt 2 definieren wir zwei endliche Teilreihen,
nämlich Sn und Pm,
wobei Pm alle Elemente von Sn enthalten soll.
Im Schritt 3 stellen wir eine Beziehung zwischen Sn
und Pm her:
Die Reihe Pm enthält einige Elemente mehr als Sn .
Die zusätzlichen Elemente
bilden eine Reihe, der wir den Namen Z geben . Somit gilt: Pm
= Sn + Z
Im Schritt 4 machen wir uns die Beweisidee klar:
Wir müssen beweisen, dann die Reihe Z gegen Null geht,
wenn n gegen unendlich geht, denn wenn Z gleich Null ist,
dann gilt Pm = Sn , d.h. die gegebene Reihe Sn
und die Umordnung Pm sind gleich.
Schritt 5-7
Die gegebene Reihe ist absolut konvergent, d.h. bildet man die Beträge
der Glieder, dann konvergiert die Reihe ebenfalls. Wir müssen diese
Information irgendwie in den Beweis hineinbringen, denn wir wollen ja
beweisen, dass man absolut konvergente Reihen umordnen kann:
Schritt 5:
Daher leiten wir mit Hilfe eines Satzes über Beträge eine Ungleichung
für |Z| her.
Schritt 6:
Aus dem gleichen Grund definieren wir den Rest Rn+1, der
entsteht,
wenn man die Differenz zwischen S und Sn betrachtet und dann
die Beträge bildet
Nun haben wir die "Information" verarbeitet. Als nächstes kommt Schritt
7,
der eine Beziehung zwischen den Ergebnissen von 6 und 7 herstellt.
Schritt 7:
Wir leiten eine Beziehung zwischen |Z| und Rn+1 her:
|Z| ≤ Rn+1
Der Hintergedanke dabei ist, dass wir im Schritt 9 herleiten werden,
dann Rn+1 zu Null wird, und somit auch |Z|.
I
Schritt 8
Diese unmittelbar einleuchtende Tatsache wird für Schritt 10 gebraucht.
Schritt 9
Wir zeigen mit einfachen Mitteln, dass Rn+1 gegen Null
geht, wenn n gegen unendlich geht.
Wozu wir das machen, hatten wir schon im Schritt 7 erklärt.
Schritt 10
Hier laufen alle Ergebnisse zusammen: Aus 7, 8 und 9 folgt, dass Z gegen
Null geht.
Endschritt
Wenn die Summe Z der zusätzlichen Glieder gegen Null geht (wenn n gegen
unendlich),
dann gilt S=P, was zu beweisen war.
