Rechnen mit Reihen
Anmerkungen und
Erklärung des
Beweisschemas
a-absatz.pcx (280 Byte) Schritt 1-4
Im Schritt 1 ist eine absolut konvergente Reihe und eine Umordnung derselben gegeben.

Im Schritt 2 definieren wir zwei endliche Teilreihen, nämlich Sn und Pm,
wobei Pm alle Elemente von Sn enthalten soll.

Im Schritt 3 stellen wir eine Beziehung zwischen Sn und Pm her:
Die Reihe Pm enthält einige Elemente mehr als Sn . Die zusätzlichen Elemente
bilden eine Reihe, der wir den Namen Z geben . Somit gilt: Pm = Sn + Z

Im Schritt 4 machen wir uns die Beweisidee klar:
Wir müssen beweisen, dann die Reihe Z gegen Null geht,
wenn n gegen unendlich geht, denn wenn Z gleich Null ist,
dann gilt Pm = Sn , d.h. die gegebene Reihe Sn und die Umordnung Pm sind gleich.
   
a-absatz.pcx (280 Byte) Schritt 5-7
Die gegebene Reihe ist absolut konvergent, d.h. bildet man die Beträge
der Glieder, dann konvergiert die Reihe ebenfalls. Wir müssen diese
Information irgendwie in den Beweis hineinbringen, denn wir wollen ja
beweisen, dass man absolut konvergente Reihen umordnen kann:

Schritt 5:
Daher leiten wir mit Hilfe eines Satzes über Beträge eine Ungleichung für |Z| her. 

Schritt 6:
Aus dem gleichen Grund definieren wir den Rest Rn+1, der entsteht,
wenn man die Differenz zwischen S und Sn betrachtet und dann die Beträge bildet

Nun haben wir die "Information" verarbeitet. Als nächstes kommt Schritt 7,
der eine Beziehung zwischen den Ergebnissen von 6 und 7 herstellt.

Schritt 7:
Wir leiten eine Beziehung zwischen |Z| und Rn+1 her:  |Z|  Rn+1
Der Hintergedanke dabei ist, dass wir im Schritt 9 herleiten werden,
dann Rn+1 zu Null wird, und somit auch |Z|.
I  
a-absatz.pcx (280 Byte) Schritt 8
Diese unmittelbar einleuchtende Tatsache wird für Schritt 10 gebraucht.
a-absatz.pcx (280 Byte) Schritt 9
Wir zeigen mit einfachen Mitteln, dass Rn+1  gegen Null geht, wenn n gegen unendlich geht.
Wozu wir das machen, hatten wir schon im Schritt 7 erklärt.
a-absatz.pcx (280 Byte) Schritt 10
Hier laufen alle Ergebnisse zusammen: Aus 7, 8 und 9 folgt, dass Z gegen Null geht.  
a-absatz.pcx (280 Byte) Endschritt
Wenn die Summe Z der zusätzlichen Glieder gegen Null geht (wenn n gegen unendlich),
dann gilt S=P, was zu beweisen war.