Beim Rechnen mit unendlichen Reihen ist höchste Vorsicht geboten,
denn die Rechengesetze, die für normale Summen gelten,
sind
im allgemeinen nicht mehr gültig.
Der Grund ist folgender: Bei unendlichen Reihen werden unendliche Summen
gebildet. Die bekannten Rechengesetze, wie z.B. das Vertauschungsgesetz
(Kommutativgesetz), gelten jedoch nur für endliche Summen.
Beispiel
Gegeben sei die unendliche Summe, die dadurch gebildet wird,
das jedes Glied der Summe doppelt so groß ist, wie das vorige:
Nun multiplizieren wir beide Seiten mit 2:
Ausmultiplizieren, d.h. die Anwendung des Distributivgesetzes, ergibt:
Die rechte Seite entspricht nun genau der Summe S,
wenn man von ihr die Zahl 1 abziehen würde:
Somit dürfen wir schreiben:
Formel nach S umstellen ergibt die Lösung:
Wir sehen jedoch sofort, dass diese Lösung falsch sein muß:
In der gegebenen Gleichung werden nur positive Summanden
addiert, also muß das Ergebnis eine positive Summe sein.
Unser Ergebnis ist jedoch negativ!
Wir sehen: Für unendliche Summen gelten die Rechengesetze
im allgemeinen nicht mehr.
