Unendliche Reihen - Einführung

Rechnen mit Reihen

Assoziativgesetz
(Klammerungen)

Wiederholung: Das Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz für die Addition kennen wir aus der Schule:
Wenn man eine Summe hat, dann kann man an beliebigen Stellen
eine Klammer setzen:

3 + 5+ 7 = 3 +( 5+ 7) = (3 + 5)+ 7

Nun untersuchen wir, ob das Assoziativgesetz auch für unendliche
Summen gilt, die bei der Reihenrechnung auftreten.

Satz

Bei unendlichen Summen gilt: Das Assoziativgesetz gilt nur für konvergente Reihen und dort auch nur eingeschränkt.

(1)	Bei konvergenten Reihen dürfen Klammern beliebig gesetzt werden.

(2)	Bei konvergenten Reihen dürfen Klammern nur dann weggelassen werden, wenn die entstandene Reihe auch wieder konvergent ist.

Beispiel und Beweis: Klammern setzen bei konvergenten Reihen erlaubt

Beispiel:
Gegeben sei eine konvergente Reihe (a_n). Als Beispiel wählen wir eine geometrische Reihe mit q=1/2:

Weil die Reihe konvergent ist, dürfen wir beliebige Klammern setzen,
z.B. je 2 Glieder in eine Klammer. Es entsteht eine neue geometrische Reihe (b_n) mit q=1/4:

Die Reihe mit Klammern und die Reihe ohne Klammern konvergieren beide
und beide konvergieren gegen den gleichen Wert, nämlich gegen 1.

Beweis (kann übergangen werden):
Gegeben ist eine konvergente Reihe (a_n):

Nun führen wir eine Beklammerung durch, so wie im obigen Beispiel.
Es entsteht eine neue Reihe (T_n). Das erste Glied von (T_n) heißt z.B. (a₁+a₂).

Jetzt betrachten wir die Teilsummenfolgen der beiden Reihen:
Die erste Teilsumme T₁ der Teilsummenfolge (T_n) ist gleich der zweiten Teilsumme S₂ der Reihe (S_n).
Die zweite Teilsumme T₂ der Teilsummenfolge (T_n) ist gleich der vierten Teilsumme S₂ der Reihe (S_n).
Und so geht es immer weiter:

Anscheinend ist die Teilsummenfolge (T_n) eine Teilfolge der Teilsummenfolge (S_n).
Weil aber eine Teilfolge das gleiche Konvergenzverhalten hat wie ihre zugrundeliegende Folge,
und eine Teilfolge gegen den gleichen Wert konvergiert, wie die zugrundeliegende Folge,
ändert eine konvergente Reihe ihren Grenzwert nicht, wenn man Klammern setzt.

Beispiel und Beweis: Klammern setzen bei divergenten Reihen verboten

Wir zeigen, dass Klammersetzen bei divergenten Reihen zu falschen Ergebnissen führt.

Gegeben sei die divergente (oszillierende) Reihe:

Nun setzen wir je 2 Glieder in Klammern. Die diverente Reihe
wird dadurch zu einer konvergenten Reihe, die gegen Null konvergiert:

Andererseits kann man die Klammern aber auch erst ab
dem zweiten Glied setzen, sodass die Reihe gegen 1 konvergiert:

Diese Widersprüche zeigen, dass bei divergenten Reihen
im allgemeinen das Setzen von Klammern verboten ist.

Beispiel und Beweis: Klammern weglassen
verboten, wenn eine divergente Reihe entsteht

Wir zeigen: Das Weglassen der Klammern kann zu falschen Ergebnissen führen,
wenn durch das Weglassen der Klammern eine divergente Reihe entsteht.

Gegeben sei die konvergente Reihe:

Lassen wir die Klammern weg, so erhalten wir eine divergente Reihe
(die Reihe ist divergent, weil sie oszilliert, d.h. zwischen zwei Werten pendelt):

Aus einer konvergenten Reihe mit dem Grenzwert Null ist
durch das Weglassen der Klammern eine divergente Reihe geworden.
Daher ist das Weglassen der Klammern verboten.

Beispiel und Beweis: Klammern weglassen bei konvergenten Reihen
erlaubt, wenn die entstandene Reihe ebenfalls konvergent ist

Beweis	Beispiel
Gegeben sei eine konvergente Reihe A.	Gegeben ist eine geometrische Reihe mit q=1/4. Sie konvergiert gegen 1:
Wir lassen die Klammern weg. Laut Voraussetzung soll eine ebenfalls konvergente Reihe B entstehen.	Wir lassen die Klammern weg, und erhalten eine geometrische Reihe mit q=1/2, die ebenfalls gegen 1 konvergiert:
Weil die neue Reihe ebenfalls konvergent ist, dürfen wir die Klammern beliebig setzen also auch so, dass wieder die ursprüngliche Reihe entsteht, die wir C nennen:	Wir setzen die Klammern so, dass wieder die ursprüngliche Reihe entsteht:
Weil das Klammersetzen (B→C) den Grenzwert und das Konvergenzverhalten nicht verändert (dies sagt der schon bewiesene Teil 1 des Satzes), haben die Reihen B und C den gleichen Grenzwert. Weil C aber die ursprüngliche Reihe A ist, haben auch A und B den gleichen Grenzwert, d.h. die Klammern in der konvergenten Reihe A kann man weggelassen, ohne das sich der Grenzwert ändert, was zu beweisen war.