Nachdem wir uns im ersten Kapitel mit den endlichen Reihen
beschäftigt haben (Reihen mit einer endlichen Anzahl an Gliedern),
kommen wir nun zu den unendlichen Reihen. Unendliche Reihen
spielen in der höheren Mathematik die größere Rolle als die endlichen
Reihen.
Erklärung
Bis jetzt haben wir uns nur mit endlichen Reihen beschäftigt,
und sie (nicht ganz korrekt) durch Angabe ihres n-ten Glied beschrieben
:
Eine Reihe kann jedoch auch unendlich viele Glieder haben.
In diesem Fall
geht die Anzahl der Glieder n gegen unendlich
und wir schreiben:
Für diesen Grenzwert benutzt man in der Praxis die Schreibweise:
Dabei wird n durch das Unendlich-Zeichen ersetzt und das letzte
Glied an wird nicht aufgeführt.
Häufige
alternative Definition
Analog zu den Erklärungen über endliche Reihen wollen wir auch bei den
unendlichen Reihen darauf hinweisen, dass es verschiedene Definitionen
gibt.
Wir haben die folgende Definition gewählt:
Eine unendliche Reihe ist eine Teilsummenfolge,
bei der die Anzahl der Glieder nicht beschränkt ist.
Den Grenzwert dieser Teilsummenfolge nennen wir Wert der Reihe.
Oft wird aber der Grenzwert dieser Teilsummenfolge als Reihe bezeichnet:
Eine unendliche Reihe ist der Grenzwert einer Teilsummenfolge
mit unendlich vielen Gliedern, sofern dieser Grenzwert existiert.
