Taylorreihen und Taylorpolynome

Taylorpolynome

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Herleitung der Taylorformel für x=0

Gesucht: Approximationspolynom
Wir wollen eine Funktion f(x) in der Nähe von x=0 durch ein Polynom approximieren, d.h.
in der Umgebung der Stelle x=0 soll die Funktion ungefähr gleich diesem Polynom sein:

Um das gewünschte Polynom zu erhalten, müssen wir die Koeffizienten
a₀, a₁, a₂, a₃ und a₄ bestimmen. Dazu überlegen wir uns folgendes:

Schritt 0 (a₀bestimmen):

Damit Funktion und Polynom in der Umgebung von x=0 ungefähr gleich sind, müssen sie an
der Stelle x=0 genau gleich sein (denn wenn sie schon für x=0 abweichen würden, würden sie in der
Umgebung von x=0 total abweichen). Daher setzen wir Funktion und Polynom an der Stelle x=0 gleich:

Außer dem ersten Glied der Reihe - nämlich a₀ -werden dadurch alle Glieder zu Null.
Somit können wir den Wert von a₀ ablesen:

Nun ermitteln wir den nächsten Koeffizienten, und benutzen die ähnliche Idee:

Schritt 1 (a₁bestimmen):

Wenn die Funktion und ihr Taylorpolynom für x=0 genau gleich sein sollen, dann müssen
auch die Ableitungen von Funktion und Polynom an der Stelle x=0 gleich sein. Wir bilden daher
auf beiden Seiten die Ableitung und setzen dann die Ableitungen (an der Stelle x=0) gleich:

Außer dem ersten Glied der Reihe - nämlich a₁ - werden dadurch alle Glieder zu Null.
Somit können wir den Wert von a₁ ablesen:

Nun ermitteln wir den nächsten Koeffizienten:

Schritt 2 (a₂bestimmen):

Die Idee bei Schritt 2 ist fast die gleiche, wie bei Schritt 1: Wenn die Funktion und das Polynom
an der Stelle x=0 gleich sein sollen, dann müssen auch ihre höheren Ableitungen übereinstimmen.
Wir leiten also beide Seiten nochmal ab und setzen die Ableitungen (an der Stelle x=0) gleich:

Außer dem ersten Glied der Reihe - nämlich 2·a₂ - werden wieder alle Glieder zu Null.
Somit können wir den Wert von a₂ ablesen:

Schritt 3 (a₃bestimmen):

Wie gesagt, wiederholt sich Schritt 1 immer wieder: Ableitungen bilden und an der Stelle x=0 gleichsetzen:

Außer dem ersten Glied der Reihe - nämlich 2·3·a₃- werden wieder alle Glieder zu Null.
Somit können wir den Wert von a₃ ablesen:

Schritt 4 (a₄bestimmen):

Wie gesagt, wiederholt sich Schritt 1 immer wieder: Ableitungen bilden und an der Stelle x=0 gleichsetzen:

Außer dem ersten Glied der Reihe - nämlich 2·3·4·a₄ - werden wieder alle Glieder zu Null.
Somit können wir den Wert von a₄ ablesen:

Schritt n (a_nbestimmen):

Nun kommen wir zum letzten Schritt. Nach dem n-ten Ableiten setzen wir, wie immer,
für x die Zahl 0 ein:

Wir können den letzten gesuchten Koeffizienten nun ablesen, wenn wir die
letzte Gleichung nach a_n umstellen:

Aufstellen der Formel:

Die berechneten Koeffizienten a₀, a₁, a₂, a₃ und a₄ in die gegebene Gleichung einsetzen:

Jetzt dividieren wir alle Terme durch 1. Dies ist erlaubt, denn die 1 ist das neutrale Element
der Division (d.h. es passiert nichts, wenn wir eine Zahl/Bruch durch 1 dividieren):

Dadurch können wir (um die Schreibweise abzukürzen) die sogenannte Fakultät-Schreibweise
anwenden. Eine kurze Wiederholung, wie die Fakultät-Schreibweise definiert ist:

Man schreibt 1·2·3·4 als 4! (sprich: 4 Fakultät), oder allgemein: 1·2·3·...·n = n!
Außerdem legen wir fest: 0!=1 und 1!=1.

Die Formel vereinfacht sich zu:

Nun sieht man auch schon das Bildungsgesetz: Die Ordnung der Ableitung entspricht dem Exponenten von x
und dem Argument der Fakultät. Damit dies auch für das erste Glied der Reihe gilt, definieren wir,
dass f(x) die "nullte Ableitung" von sich selbst ist: f(x) = f⁽⁰⁾(x).

Um noch mehr Schreibarbeit zu sparen, benutzen wir das Summenzeichen:

Man kann die Formel überprüfen: Setzt man für k nacheinander die Zahlen 0 bis n ein, so erhält man die
"Formel ohne Summenzeichen".

Noch eine Anmerkung: In der vorletzten Formel läßt man 0! und 1! meist weg, denn beide sind ja gleich 1:

Ein Polynom dieser Form nennt man Taylorpolynom. Die Formel nennt man Taylorformel.

Die beiden letzten Formel sind die beiden Formeln, die wir beweisen wollten.