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Letzte Änderung: 15.12 .2009 - 12.00
Taylorpolynome I
Approximation einer Funktion
durch Polynome 1. und 2.Grades
 
Vorkenntnisse (Kurzwiederholung)
Fakultäten  
Polynome und Polynomfunktionen
   
Einführung
Was ist eine Approximation und was
erwartet man von einer guten Approximation
   
Approximation durch eine Gerade:
Approximation durch eine
konstante Funktion  
Approximation durch eine
Tangentengerade (mit Beispiel)  
   
Approximation durch Schmiegeparabel
Approximation durch eine
Schmiegeparabel (Teil 1)  
Approximation durch eine
Schmiegeparabel (Teil 2)  
Beispiel: Sinusfunktion bei PI/2 (90°) 
   


 

 Taylorpolynome II
Approximation einer Funktion durch
höhere Polynome: Die Taylorformel
  
Einführung in das Taylorverfahren
Approximation durch Polynome
höheren Grades
Idee und Einführung des Taylorverfahrens
noch ohne Benutzung der Taylorformel
    
Taylorformel für x=0
Taylorpolynome bzw. Taylorformel
für die Entwicklungsstelle x=0
Herleitung dieser Taylorformel
   
Taylorformel für x=xe
Taylorpolynome bzw. Taylorformel
für eine beliebige Entwicklungsstelle
Beispiel 1: Sinusfunktion bei x=π
durch ein Polynom 3.Grades approximieren
Beispiel 2: Exponentialfunktion bei x=–1
durch ein Polynom 2.Grades approximieren
Herleitung dieser Taylorformel
   
Vorsicht bei Approximationen
außerhalb des Konvergenzbereich
Außerhalb des Konvergenzbereichs
der zugehörigen Reihe wird die
Approximation trotz höheren Grades
des Taylorpolynoms schlechter
   
Anhang: Taylorpolynom in CAS
Mupad
Taylorpolynome III
Die Berechnung des Fehlers, der
bei einer Approximation gemacht wird
  
Restgliedformel von Lagrange
Der Fehler der Approximation hängt
von x und der Enwicklungstelle ab.
Restgliedformel von Lagrange
   
Beispiele zur Lagrange-Formel
Sinusfunktion entwickelt an der Stelle x=π/2,
durch ein Taylorpolynom 3.Grades.
Gesucht: Fehler an der Stelle x=5
Die Funktion f(x)=e0.5x entwickelt an der
Stelle x=e durch ein Taylorpolynom 2.Grades. Gesucht: Fehler an der Stelle x=5
    
Trick
Trick zur besseren Fehlerabschätzung
bei symmetrischen Funktionen
   
Beweis der Lagrange-Restgliedformel
Beweisüberblick und Überblick
über die Hilfssätze (Lemmata) Seite90
Hilfssatz 1
Hilfssatz 2
Hilfssatz 3    Seite93 (in Arbeit)
Hilfssatz 4
Beweis
   
Andere Restgliedformeln
Restgliedformeln von Cauchy und Schlömilch
Kapitelbezogene Links:
Tangentengerade und Schmiegeparabel Videos:
1706   1707 		Applet: Approximation und Fehler

Videos zum Taylorpolynom:
1708   1709  1710  1801

 		 Fehlerabschätzung der Approximation(Videos):
1808  1809  1901  1902  1903
1904  1905  1906  1907  1908
 
Konvergenz von Potenzreihen (Videos):
2001  2002  2003  2004  2005
 
Analytische Funktionen (Video): 2006

Kursbezogene Links:  
noch keine kursbezogenen Links