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Beispiel 1:

Approximation
der Sinusfunktion
an der Stelle x=π
durch ein Polynom
3.Grades
...
unter Zuhilfennahme
der Taylorformel

 
a-absatz.pcx (280 Byte) Gesucht
Wir wollen nun die soeben gelernte "Taylorformel für beliebige Entwicklungsstellen"
anwenden, und die Sinusfunktion in der Umgebung von x=π approximieren,
wobei der Winkel π natürlich eine Angabe im trigonometrischen Bogenmaß ist.
Die Funktion soll durch ein Polynom 3. Grades approximiert werden,
wobei das Polynom mit Hilfe der Taylorformel ermittelt werden soll.
 
a-absatz.pcx (280 Byte) Lösungsweg
Wie gesagt wollen wir die Taylorformel benutzen, um das Polynom zu ermitteln. Sie lautete:

In unserem Fall suchen wir ein Polynom 3.Grades, d.h. wir brauchen nur die ersten 4 Glieder:
 
Laut Aufgabenstellung ist die Entwicklungsstelle xe gleich π. Wir ersetzen daher in der Formel alle xe durch π:
 
Die Terme f(π) , f '(π), f ''(π) und f '''(π) müssen noch berechnet werden.
Dazu sind zwei Schritte nötig. Zuerst bilden wir die Ableitungen f '(x), f ''(x) und f '''(x):

Jetzt berechnen wir den Funktionswert bzw. den Wert der Ableitungen an der Stelle π:

Jetzt können wir diese Werte in die Formel einsetzen:

Wir verfeinfachen den Term und erhalten das gewünschte Polynom:


Die Sinusfunktion (rot) und das Polynom (blau) können wir zeichnen lassen. Man sieht:
Die Sinusfunktion wir in der Nähe von x=π (also x ungefähr gleich 3.14) sehr gut approximiert: