Fehler an der
Stelle x=5
bei der
Approximation der
Sinusfunktion durch
ein Taylorpolynom
3. Grades mit der
Entwicklungsstelle xe=π/2. |
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Aufgabe |
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Es soll der Fehler abgeschätzt werden, der an der Stelle x=5 auftritt,
wenn die Sinusfunktion durch ein Taylorpolynom 3.Grades approximiert
würde,
und die Sinusfunktion an der Stelle xe=π/2
(ungefähr 1.57 oder 90°) entwickelt würde.
Die Formel für die Fehlerabschätzung lautete:
Einsetzen der Entwicklungsstelle π/2:
Gesucht ist der Fehler an der Stelle x=5,
also müssen wir für x die Zahl 5 einsetzen:
Da das Taylorpolynom vom Grad 3 ist,
müssen wir für n die Zahl 3 einsetzen:
Den Nenner und die Klammer kann man ausrechnen:
Als nächstes bestimmen wir die 4.Ableitung der Funktion f, also die
4.Ableitung
der Sinusfunktion: Dies ist wieder die Sinusfunktion (Hilfe:
Wie leite ich sin(x) viermal ab):
Nun fehlt nur noch der Maximalwert M, den der Betrag der Sinusfunktion
im Intervall [π/2 , 5] annehmen kann. Weil die Sinusfunktion den
Wertebereich
[–1,1] hat, ist dies der Wert 1:
Die rechte Seite der Ungleichung ausrechnen ergibt (gerundet):
Ergebnis: Wenn die Sinusfunktion durch ein
Näherungspolynom
3.Grades mit der
Entwicklungsstelle xe=π/2
approximiert wird, dann ist der Betrag des Fehlers
an der Stelle x=5.7618492... , also kleiner als 5.77.
Im Bild erkennt man aber, dass der tatsächliche Fehler an der Stelle
x=5 nur
knappe
4 Einheiten beträgt.
Aber wie gesagt, kann man mit der Formel den
Fehler nur grob abschätzen, aber nicht berechnen:
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