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Beispiel 2:

Approximation
der natürlichen
Exponentialfunktion
an der Stelle x=–1
durch ein Polynom
2.Grades
...
unter Zuhilfennahme
der Taylorformel

 
a-absatz.pcx (280 Byte) Gesucht
Wir wollen die Exponentialfunktion in der Umgebung von x=–1 approximieren.
Die Funktion soll durch ein Polynom 2. Grades approximiert werden,
wobei das Polynom mit Hilfe der Taylorformel ermittelt werden soll.
 
a-absatz.pcx (280 Byte) Lösungsweg
Wie gesagt wollen wir die Taylorformel benutzen, um das Polynom zu ermitteln. Die Taylorformel lautete:

In unserem Fall suchen wir ein Polynom 2.Grades, d.h. wir brauchen nur die ersten 3 Glieder:
    
Laut Aufgabenstellung ist die Entwicklungsstelle xe gleich –1.
Wir ersetzen daher in der Formel alle xe durch –1:
  
Vereinfachen durch die Vorzeichenregel:
                      
Die beiden Ableitungen f '(x) und f ''(x) sind unbekannt, und somit auch ihr Wert an der Stelle x=–1.
Daher müssen wir die erste und zweite Ableitung der natürliche Exponentialfunktion berechnen,
und dann ihren Wert an der Stelle x=1. Die Ableitungen findet man recht einfach, denn die
natürliche Exponentialfunktion ist gleich ihren Ableitungen:
        
Wie gesagt: Nun berechnen wir den Funktionswert bzw. den Wert der Ableitungen an der Stelle x=–1:
      
Jetzt können wir diese Werte (also aus Formel 6) in die Formel 4 einsetzen:

Wir verfeinfachen den Term und erhalten das gewünschte Polynom:

Die natürliche Exponentialfunktion (rot) und das Polynom (blau) können wir zeichnen lassen.
Man sieht: Die natürliche Exponentialfunktion wir in der Nähe von x=–1 sehr gut approximiert:

 

      (c) Josef Raddy 2009 - www.mathematik.net