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Die Idee des Verfahrens |
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Die Idee des Verfahrens |
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Wie im Kapitel 1 bereits erklärt, wollen wir eine Funktion durch ein
Polynom
mit unendlich vielen Glieder ersetzen, also durch eine Potenzreihe. Es
gilt dann:
Satz:
Wenn die Potenzreihe und die Funktion tatsächlich gleich sind,
dann haben sie an der Entwicklungsstelle den gleichen Wert.
Außerdem sind auch alle Ableitungen von Funktion und Potenzreihe
an der Entwicklungsstelle gleich.
Das Lösungsverfahren zur Bestimmung dieser Potenzreihe beruht auf
der Idee,
dass auch die Umkehrung der obigen Aussage gelten könnte, dass also gilt:
Umkehrung des Satzes:
Wenn eine Funktion und eine (unendliche) Potenzreihe an der
Entwicklungsstelle den gleichen Wert haben, und auch ihre
Ableitungen an der Entwicklungsstelle übereinstimmen,
dann ist die Funktion mit der Potenzreihe identisch.
Man nennt die Potenzreihe, die an der Entwicklungsstelle den
gleichen Funktionswert
und die gleichen Ableitungen wie eine bestimmte Funktion hat, die
Taylorreihe dieser
Funktion.
Es sei angemerkt, dass die oben erwähnte "Umkehrung des Satzes"
in seltenen
Fällen nicht gilt, d.h. die Taylorreihe entspricht nicht der
zugehörigen Funktion (wir werden im Kapitel 3 darauf eingehen):
Die Gleichheit einer Funktion mit ihrer Taylorreihe in unseren
Beispielen
ist somit vorerst (also in diesem Kapitel) nur eine Vermutung!
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