zurück  vor                     in Arbeit

Letzte Änderung: 15.8.09 / 22.00
Taylorreihen I
Einleitung
       
   
Wiederholung der Vorkenntnisse
Reihen mit variablen Gliedern sind Funktionen
Wir können schon zu einer Potenzreihe die zugehörige Funktion angeben. Nun gehen wir den umgekehrten Weg: Eine gegebene Funktion als Potenzreihe ausdrücken
    
Worum geht es in diesem Kurs
Vom Taylorpolynom zur Taylorreihe
   
Taylorreihen II
Herleitung der wichtigsten Taylorreihen
        
 
Einführung in die Taylorreihen
Die Idee des Verfahrens
   
Taylorreihen "von Hand" ermitteln
Genauso wie man ein Taylorpolynom
von Hand (also ohne die Taylorformel)
ermitteln kann, kann man auch eine
Taylorreihe auf diese Weise ermitteln.
Erklärung als Youtube-Video Video
   
Ermittlung der Taylorreihe in der
Praxis: Taylorformel benutzen
Entwicklung einer Funktion (hier: cos x)
an der Entwicklungsstelle x=0 
Entwicklung einer Funktion (hier: cos x)
an beliebiger Entwicklungsstelle
Alle Taylorreihen einer Funktion sind gleich,
unabhängig davon, wo man sie entwickelt
    
Anmerkung: Existenz der Taylorreihe
Hinreichendes Kriterium: Differenzierbarkeit
   
Taylorreihen III
Kriterien, das die Taylorreihe der
zu entwickelnden Funktion entspricht
  
Theoretische Kriterien
Einführung
Notwendiges Kriterium: Definititionbereich der Funktion liegt im Konvergenzbereich der Reihe
(mit Gegenbeispiel von Cauchy)
Hinreichendes Kriterium:
Restglied muß zu Null werden, wenn Anzahl
der Reihenglieder gegen unendlich geht.
   
Praktische Anwendung des
hinreichenden Kriteriums
Beispiel: Sinusfunktion
Beispiel: Exponentialfunktion
   
Sätze zur Anwendung des
hinreichenden Kriteriums
Satz über beschränkte Funktionen
   
Anhang:
Beweis: (x–xe)n+1/(n+1)!=0 für n→∞
   

    

Linksammlung zum Kurs
   Links zu Kapitel 2 (Videos):
1802 Taylorreihe für sin, cos, exp
1803 weiter (bis Minute 5:00)
1804 Taylorreihe für 1/(1-x)  (ab 3:30)
1805 weiter
1806 Teleskopsumme (ab 0:30)
1807 weiter