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Entwicklung an beliebiger Stelle |
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Formel für die Taylorreihe an
der Entwicklungstelle x=xe |
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Die Formel für ein Taylorpolynom, dass an der Stelle xe
entwickelt werden soll,
haben wir im Kurs Taylorpolynome kennengelernt:
bzw. in der Schreibweise mit dem Summenzeichen:
Die Formel für die Taylorreihe lautet ähnlich, bis auf zwei
Unterschiede: Die Taylorreihe
hat unendlich viele Glieder
anstatt nur n Glieder. Außerdem muß das "Ungefährzeichen" durch
ein Gleichheitszeichen ersetzt werden:
bzw. in der Schreibweise mit dem Summenzeichen:
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Beispiel: Taylorreihe von
cos(x) für xe=π |
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Wir suchen die Taylorreihe für cos(x) an der Entwicklungsstelle xe=π.
Die Taylorreihe für eine beliebige Entwicklungsstelle haben wir soeben
kennengelernt. Sie lautete:
Wir ersetzen die Funktion f(x) bzw. ihre Ableitungen durch cos(x) bzw.
ihre Ableitungen:
Die Entwicklungsstelle xe ist gleich
π, also ersetzen wir xe
überall durch π:
Die Funktionswerte sin(π) und cos(π) können
mit dem Taschenrechner berechnet werden, sie sind gleich Null bzw. –1:
Vereinfachen: Die Terme in denen der Faktor Null vorkommt fallen weg:
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