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Entwicklung an beliebiger Stelle |
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Die Taylorreihe ist unabhängig
von der Entwicklungsstelle ! |
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Nun wirst du dich wahrscheinlich über folgendes wundern:
Wir haben zweimal die Kosinusfunktion in eine Reihe entwickelt. Beim
ersten
mal haben wir die Entwicklungsstelle x=0 und bei zweiten mal x=π
benutzt:
Da beide Reihen mit der Kosinusfunktion identisch sein sollen, müßten
die Reihen
doch eigentlich gleich sein, doch anscheinend sind sie es nicht:
Der Schein trügt: Die Reihen sind tatsächlich gleich. Dies erkennt
man aber erst,
wenn man die Klammern ausmulipliziert, und dabei sehr viele Glieder
der Reihe
in der Rechnung berücksichtigen würde!
Fazit: Während das Taylorpolynom von der Entwicklungsstelle
abhängt, ist die Taylorreihe einer
Funktion für alle Entwicklungsstellen gleich, auch wenn es auf den
ersten Blick nicht so aussieht.
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