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Definition |
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Auf der vorigen Seite haben
wir definiert, was man unter einer nicht symmetrischen
Relation versteht. Die nicht symmetrischen Relationen unterteilt man
nochmals in
asymmetrische und antisymmetrische Relationen:
Definition:
Wir nennen eine zweistellige Relation R in einer nichtleeren Menge M
asymmetrisch,
aus xRy immer folgt, dass yRx falsch ist. Als Formel:
Die Formel liest sich so:
Für alle Paare x,y aus der Menge M gilt: Aus "x steht in
Relation zu y" folgt:
"y steht nicht in Relation zu x". |
1. Man beachte, daß eine asymmetrische Relation auch
automatisch irreflexiv sind.
Man erkennt dies, indem man in obiger Formel y durch x ersetzt. Es
entsteht eine
falsche (unsinnige) Aussage:
2. Man kann auch wieder die alternative Darstellung des Allquantors
benutzen:
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Darstellung im Pfeildiagramm |
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Im Pfeildiagramm erkennt man eine
asymmetrische Relation daran,
daß es keine Umkehrpfeile und keine Ringpfeile gibt:
Im Beispiel fehlen zu allen (beiden)
Pfeilen die Umkehrpfeile, und es sind
auch keine Ringpfeile vorhanden. Die Relation ist daher asymmetrisch |
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Darstellung im Koordinatensystem |
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Bei der Darstellung der Relation
im Koordinatensystem erkennt man eine
asymmetrische Relation daran, dass zu keinem Element ein Gegenelement
existiert, das spiegelbildlich zur Hauptdiagonalen liegt. Außerdem
müssen
alle
Elemente der Hauptdiagonalen unbesetzt sind:
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Beispiele |
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Beispiele für asymmetrische Relationen
sind:
1. Die Relation "...ist größer als...", als Symbol geschrieben:
>
Aus a>b folgt immer, daß die Aussage b>a
falsch ist.
Daher ist die Relation "... ist größer
als ..."
asymmetrisch.
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