Intervalle als
Lösungsmengen |
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1. Offene Intervalle |
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Die Lösungsmenge einer Ungleichung kann z.B. aus allen
Zahlen zwischen 1 und 3
bestehen, wobei die Zahlen 1 und 3 nicht zur Lösung gehören sollen. Man
nennt
eine solche Menge ein offenes Intervall.
In der Mengenschreibweise würde man
das offene Intervall bzw. diese Lösungsmenge folgendermaßen schreiben:
Lies: Die Lösungsmenge besteht aus allen Elementen x, für die
gilt: x liegt zwischen 1 und 3.
Das Intervall bzw. die Lösungsmenge kann man auch in der
Klammerschreibweise
(Intervallschreibweise) angeben:
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2. Abgeschlossene Intervalle |
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Gehören die Zahlen 1 und 3 jedoch noch zur Lösungsmenge, so spricht
man von
einem abgeschlossenen Intervall,
und schreibt in der Mengenschreibweise:
In der Klammerschreibweise benutzt man eckige Klammern um zu
kennzeichnen,
dass ein sich um ein abgeschlossenes Intervall handelt, und d.h. um zu
kennzeichnen,
dass 1 und 3 noch zur Lösungsmenge gehören:
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3. Halboffene Intervalle |
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Außerdem gibt es noch die halboffenen
Intervalle. Ein halboffenes Intervall
wäre z.B. das Intervall, dass aus allen Zahlen zwischen 1 und 3 besteht,
wobei
die Zahl 1 zum Intervall gehören soll, die Zahl 3 aber nicht:.
Mengenschreibweise:
Klammerschreibweise:
Das Intervall nennt sich genau genommen links
abgeschlossen, halboffenes Intervall.
Ebenso gibt es natürlich ein "rechts abgeschlossen, halboffenes
Intervall", nämlich dann,
wenn z.B. die 1 nicht zur Lösungsmenge gehören würde, sondern
stattdessen die 3:
Klammerschreibweise:
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4. Unendliche Intervalle |
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Schließlich gibt es noch die unendlichen
Intervalle.
Unendliche Intervalle erkennt man daran, dass ein oder beide Endpunkte
fehlen.
Beispiel: Nehmen wir an, dass eine Lösungsmenge aus allen Zahlen
besteht,
die größer oder gleich 3 sind, dann ist dies ein unendliches Intervall,
denn
"noch oben hin" fehlt ein Endpunkt:
Bei der Klammerschreibweise muß man beachten, dass die Seite mit
dem
Unendlichzeichen immer eine runde Klammer haben, denn "Unendlich" ist
keine Zahl,
und daher kann "unendlich" auch kein Endpunkt des Intervalls sein.
Dieses Intervall nennt sich übrigens "links
abgeschlossenes, unendliches Intervall",
weil die linke Zahl (die 3) noch zum Intervall gehört.
Würde die Zahl 3 nicht zur Lösungsmenge gehören, so würde es sich
um ein
"links offenes, unendliches Intervall" handeln, und wir
müßten schreiben:
In Klammerschreibweise:
Analog zu den "links abgeschlossenen/offenen, unendlichen
Intervallen"
gibt es natürlich die "rechts abgeschlossenen/offenen, unendlichen
Intervallen".
Schließlich gibt es noch den Sonderfall, dass alle Zahlen zur
Lösungsmenge gehören:
Mengenschreibweise:
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