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Vektoralgebra V                                 ZURÜCK

Einführung
       Auf der vorigen Seite haben wir den Satz vom Erzeugenden-
       system kennengelernt. Der Satz lautete:

            Eine Teilmenge {a,b,c ...} aus Vektoren des Raumes ist
            ein Erzeugendensystem des Raumes, wenn es in der Menge
            drei linear unabhängige Vektoren gibt.

Beweis des Satzes
       Nehmen wir an, {a,b,c} sei linear unabhängig, und x sei
       ein beliebiger Vektor des Raumes. Die Menge {a,b,c,x}
       wiederum ist linear abhängig, weil vier Vektoren im Raum
       immer linear abhängig sind. Zu einer linear abhängigen Menge
       kann man aber eine nichttriviale Nullsumme angeben:

              k₁·a + k₂·b + k₃·c + k₄·x = 0

       wobei "nichttrivial" bedeutet, daß mindestens ein Koeffizient
       ungleich 0 ist. Nun beweisen wir, daß auf jeden Fall k₄
       ungleich 0 ist:

             Der Koeffizient k₄ kann nicht Null sein, denn dann gelte:

              k₁·a + k₂·b + k₃·c = 0

             Die Vektoren a,b,c sind aber linear unabhängig, und
             können keine nichttriviale Nullsumme bilden. Folglich gilt:
 
              k₁·a + k₂·b + k₃·c + k₄·x = 0           mit:  k₄ 0

       Weil k₄ 0 ist, dürfen wir die Gleichung durch k₄ teilen.
       Wir erhalten dann für den Vekor x:

                     -k₁·a - k₂·b - k₃·c
              x = ----------------------      
                                 k₄  

        Weil k₄ 0 ist der Bruch immer definiert, und es gibt für jedes
        x eine Darstellung durch eine Linearkombination von {a,b,c}.